Розуміння часової вартості грошей

Вітаємо !!! Ви виграли грошовий приз! У вас є два варіанти оплати: A: Отримайте 10 000 доларів зараз або B: Отримайте 10 000 доларів за три роки. Який варіант ви обрали б?

Яка цінність грошей у часі?

Якщо ви схожі на більшість людей, ви вирішили отримати зараз 10 000 доларів. Адже три роки - це довго чекати. Чому будь-яка раціональна людина відкладає платіж у майбутнє, коли він чи вона можуть мати однакову суму грошей зараз? Для більшості з нас брати гроші в даний час - це просто інстинктивний характер. Тож на самому базовому рівні часова цінність грошей демонструє, що при рівних ситуаціях, здається, краще мати гроші зараз, а не пізніше.

Але чому це? Рахунок в 100 доларів має те саме значення, що і законопроект у 100 доларів за рік, чи не так? Насправді, хоча рахунок є тим самим, ви можете зробити набагато більше грошей, якщо у вас є зараз, тому що з часом ви можете заробити більше відсотків на своїх грошах.

Повернення до нашого прикладу: отримуючи сьогодні 10 000 доларів, ви готові збільшити майбутні значення своїх грошей, інвестуючи та отримуючи відсотки протягом певного періоду часу. У варіанті B у вас немає часу на вашому боці, і оплата, отримана за три роки, буде вашою майбутньою вартістю. Для ілюстрації ми запропонували часову шкалу:

Якщо ви вибираєте варіант A, ваша майбутня вартість становитиме 10 000 доларів плюс будь-які відсотки, придбані за три роки. З іншого боку, майбутня цінність для варіанту B складе лише 10 000 доларів. Тож як можна точно підрахувати, скільки коштує варіант A порівняно з варіантом B? Давайте подивимось.

Основи майбутнього значення

Якщо ви виберете Варіант А та вкладете загальну суму за простою річною ставкою 4, 5%, майбутня вартість ваших інвестицій на кінець першого року становить 10 450 доларів. Ми доходимо до цієї суми, помноживши суму основної суми в 10 000 доларів США на процентну ставку 4, 5%, а потім додавши отримані відсотки до основної суми:

$ 10 000 × 0, 045 = 450 $ \ початок {вирівняно} & \ $ 10 000 \ разів 0, 045 = \ $ 450 \\ \ кінець {вирівняно} $ 10 000 × 0, 045 = 450 $

450 $ + 10 000 $ = 10 450 $ \ початок {вирівняний} & \ $ 450 + \ $ 10 000 = \ 10, 450 \\ \ кінець {вирівняно} 450 $ + 10 000 $ = 10 450 $

Ви також можете розрахувати загальну суму однорічної інвестиції за допомогою простого маніпулювання вищевказаним рівнянням:

OE = (10 000 × 0, 045) + 10 000 $ = 10 450 $ де-небудь: OE = Оригінальне рівняння \ початок {вирівняне} & \ текст {OE} = (\ $ 10 000 \ разів 0, 045) + \ $ 10 000 = \ $ 10, 450 \\ & \ textbf {де :} \\ & \ текст {OE} = \ текст {Оригінальне рівняння} \\ \ кінець {вирівняно} OE = ($ 10 000 × 0, 045) + $ 10 000 = 10 450 $ де: OE = Оригінальне рівняння

Маніпуляція = $ 10 000 × [(1 × 0, 045) +1] = 10 450 $ \ початок {вирівняний} & \ текст {Маніпуляція} = \ 10 000 $ \ раз [(1 \ раз 0, 045) + 1] = \ 10, 450 \\ \ кінець { вирівняно} Маніпуляція = $ 10 000 × [(1 × 0, 045) +1] = 10 450 $

Кінцеве рівняння = $ 10 000 × (0, 045 + 1) = 10 450 $ \ початок {вирівняне} & \ текст {Кінцеве рівняння} = \ $ 10 000 \ разів (0, 045 + 1) = \ $ 10, 450 \\ \ кінець {вирівняно} Кінцеве рівняння = 10 000 $ × (0, 045 + 1) = 10, 450 дол

Вище маніпульоване рівняння - це просто вилучення аналогічної змінної $ 10000 (основна сума) шляхом ділення всього початкового рівняння на 10000 доларів.

Якщо 10, 450 доларів США, які залишилися на вашому інвестиційному рахунку в кінці першого року, залишаються недоторканими, і ви інвестували його на 4, 5% ще один рік, скільки б у вас було? Щоб обчислити це, ви взяли б $ 10 450 і помножили його ще раз на 1, 045 (0, 045 +1). Після закінчення двох років у вас було б 10 920, 25 доларів.

Розрахунок майбутньої вартості

Отже, наведений вище розрахунок еквівалентний наступному рівнянню:

Майбутнє значення = 10 000 × × (1 + 0, 045) × (1 + 0, 045) \ початок {вирівняне} & \ текст {Майбутнє значення} = \ $ 10 000 \ разів (1 + 0, 045) \ разів (1 + 0, 045) \\ \ кінець {вирівняно} Майбутнє значення = 10 000 × × 1 (0, 05) × (1 + 0, 045)

Подумайте про клас математики та правило експонентів, де зазначено, що множення подібних доданків еквівалентно додаванню їхніх експонентів. У наведеному вище рівнянні два подібних доданки є (1+ 0, 045), а показник на кожне дорівнює 1. Отже, рівняння можна представити у вигляді наступного:

Майбутня цінність = 10 000 $ × (1 + 0, 045) 2 \ початок {вирівняний} & \ текст {Майбутнє значення} = \ $ 10 000 \ разів (1 + 0, 045) ^ 2 \\ \ кінець {вирівняно} Майбутнє значення = $ 10 000 × ( 1 + 0, 045) 2

Ми можемо бачити, що показник дорівнює кількості років, за які гроші заробляють відсотки на інвестиції. Отже, рівняння для обчислення трирічної майбутньої вартості інвестиції виглядатиме так:

Майбутня вартість = 10 000 × × 1 (0, 05) 3 \ початок {вирівняний} & \ текст {Майбутнє значення} = \ $ 10 000 \ разів (1 + 0, 045) ^ 3 \\ \ кінець {вирівняно} Майбутнє значення = $ 10 000 × ( 1 + 0, 045) 3

Однак нам не потрібно продовжувати обчислювати майбутні значення після першого року, потім другого року, потім третього року тощо. Ви можете зрозуміти все це відразу, так би мовити. Якщо ви знаєте теперішню суму грошей, яку ви маєте вкласти, її коефіцієнт прибутку та скільки років ви хотіли б утримувати цю інвестицію, ви можете розрахувати майбутню вартість цієї суми. Це робиться з рівнянням:

FV = PV × (1 + i) ніде: FV = Майбутнє значенняPV = Теперішня вартість (початкова сума грошей) i = Процентна ставка за періодn = Кількість періодів \ початок {вирівняно} & \ текст {FV} = \ текст { PV} \ раз (1 + i) ^ n \\ & \ textbf {де:} \\ & \ текст {FV} = \ текст {Майбутнє значення} \\ & \ текст {PV} = \ текст {теперішнє значення ( початкова сума грошей)} \\ & i = \ текст {Процентна ставка за період} \\ & n = \ текст {Кількість періодів} \\ \ кінець {вирівняно} FV = PV × (1 + i) ніде: FV = Майбутнє значенняPV = теперішня вартість (початкова сума грошей) i = Процентна ставка за періодn = Кількість періодів

Основи теперішнього значення

Якщо ви сьогодні отримали 10 000 доларів, його теперішня вартість, звичайно, буде 10 000 доларів, тому що теперішня вартість - це те, що дає вам зараз ваша інвестиція, якби ви витратили їх сьогодні. Якби ви отримали 10 000 доларів за один рік, теперішня вартість суми не була б 10000 доларів, оскільки у вас її немає в руці зараз, в теперішньому.

Щоб знайти теперішню вартість 10 000 доларів, які ви отримаєте в майбутньому, вам потрібно зробити вигляд, що 10 000 доларів - це загальна майбутня вартість суми, яку ви сьогодні вклали. Іншими словами, щоб знайти теперішню вартість майбутніх 10 000 доларів, нам потрібно з’ясувати, скільки б нам довелося сьогодні інвестувати, щоб отримати ці 10 000 доларів за один рік.

Щоб розрахувати теперішню вартість або суму, яку ми повинні були б сьогодні інвестувати, ви повинні відняти (гіпотетичні) накопичені відсотки від 10000 доларів. Щоб досягти цього, ми можемо знизити майбутню суму платежу (10 000 доларів США) за процентною ставкою за період. По суті, все, що ви робите, - це перегрупування рівняння майбутнього значення вище, щоб ви могли вирішити поточне значення (PV). Вищенаведене рівняння майбутнього значення можна переписати так:

PV = FV (1 + i) n \ початок {вирівняний} & \ текст {PV} = \ frac {\ текст {FV}} {(1 + i) ^ n} \\ \ кінець {вирівняний} PV = (1 + i) nFV

Альтернативним рівнянням буде:

PV = FV × (1 + i) - де-небудь: PV = теперішнє значення (початкова сума грошей) FV = Майбутнє значенняi = Процентна ставка за періодn = Кількість періодів \ початок {вирівняно} & \ текст {PV} = \ текст {FV} \ раз (1 + i) ^ {- n} \\ & \ textbf {де:} \\ & \ текст {PV} = \ текст {поточне значення (початкова сума грошей)} \\ & \ текст {FV} = \ текст {Майбутнє значення} \\ & i = \ текст {Процентна ставка за період} \\ & n = \ текст {Кількість періодів} \\ \ кінець {вирівняно} PV = FV × (1 + i) - десь: PV = поточна вартість (початкова сума грошей) FV = майбутня вартістьi = процентна ставка за періодn = кількість періодів

Розрахунок теперішньої вартості

Давайте підемо назад від 10 000 доларів, запропонованих у варіанті Б. Пам'ятайте, що 10 000 доларів, які отримаєте за три роки, насправді такі ж, як і майбутня вартість інвестицій. Якби у нас був рік, перш ніж отримати гроші, ми знизили б виплату за рік. Використовуючи нашу формулу теперішнього значення (версія 2), при поточному дворічному значенні теперішня вартість 10 000 доларів США, що надійде за один рік, становитиме 10 000 доларів x (1 + .045) ^-1 = 9569, 38 доларів.

Зауважимо, що якби сьогодні ми були на рівні одного року, зазначені вище $ 9, 569, 38 вважали б майбутнім значенням наших інвестицій через рік.

Продовжуючи, наприкінці першого року ми очікували б отримати плату в розмірі 10000 доларів протягом двох років. При процентній ставці в 4, 5% розрахунок за теперішньою вартістю 10 000 доларів США, що очікується через два роки, становитиме 10 000 доларів x (1 + .045) ^-2 = 9157, 30 доларів.

Звичайно, через правило експонентів нам не доведеться щорічно обчислювати майбутню вартість інвестицій, відраховуючи інвестиції в 10 000 доларів на третій рік. Ми можемо скласти рівняння більш стисло і використовувати $ 10 000 як FV. Отже, ось як ви можете обчислити сьогоднішню вартість 10 000 доларів, очікувану від трирічних інвестицій, заробляючи 4, 5%:

$ 8, 762, 97 = $ 10 000 × (1 + .045) −3 \ початок {вирівняно} & \ 8, 762.97 = \ $ 10 000 \ разів (1 + .045) ^ {- 3} \\ \ кінець {вирівняно} $ 8, 762.97 = $ 10 000 × ( 1 + .045) −3

Тож теперішня вартість майбутнього платежу в розмірі 10 000 доларів сьогодні коштує 8 762, 97 доларів, якщо відсоткові ставки становлять 4, 5% на рік. Іншими словами, вибір Варіанту Б - це те, що зараз потрібно взяти 8 762, 97 дол. США, а потім інвестувати його протягом трьох років. Наведені вище рівняння ілюструють, що варіант A кращий не тільки тому, що він пропонує вам гроші зараз, а й тому, що він пропонує вам $ 1, 237, 03 ($ 10 000 - $ 8 762, 97) більше готівкою! Крім того, якщо ви інвестуєте 10 000 доларів, які ви отримуєте від Варіанту А, ваш вибір надає вам майбутнє значення, яке на 1411, 66 долара (11 411, 66 - 10 000 доларів) більше, ніж майбутнє значення Варіанту Б.

Теперішня вартість майбутнього платежу

Давайте складемо анте на нашу пропозицію. Що робити, якщо майбутній платіж перевищить суму, яку ви отримаєте відразу? Скажімо, ви можете отримати або 15 000 доларів сьогодні, або 18 000 доларів за чотири роки. Зараз рішення складніше. Якщо ви вирішите сьогодні отримати 15 000 доларів США та вкласти всю суму, за чотири роки, можливо, ви отримаєте грошову суму, яка менше 18 000 доларів.

Як прийняти рішення? Ви можете знайти майбутню вартість 15 000 доларів, але оскільки ми завжди живемо в сьогоденні, давайте знайдемо теперішню вартість 18 000 доларів. Цього разу, припустимо, відсоткові ставки наразі становлять 4%. Пам'ятайте, що рівняння для теперішнього значення таке:

PV = FV × (1 + i) −n \ початок {вирівняний} & \ текст {PV} = \ текст {FV} \ раз (1 + i) ^ {- n} \\ \ кінець {вирівняний} PV = FV × (1 + i) −n

У наведеному вище рівнянні все, що ми робимо, - це дисконтування майбутньої вартості інвестиції. Використовуючи наведені вище цифри, теперішня вартість платежу в розмірі 18 000 доларів за чотири роки буде розрахована як 18 000 доларів x (1 + 0, 04) ^-4 = 15 386, 48 доларів.

З вищенаведеного підрахунку, ми тепер знаємо, що наш вибір сьогодні - між вибором $ 15 000 або $ 15 386, 48. Звичайно, нам слід вибрати відстрочку платежу на чотири роки!

Суть

Ці розрахунки демонструють, що час буквально є грошима - вартість грошей, яку ви маєте зараз, не така, як буде в майбутньому, і навпаки. Отже, важливо знати, як обчислити часову вартість грошей, щоб ви могли розрізнити вартість інвестицій, які пропонують вам прибутки в різний час. (Про пов’язане читання див. У розділі "Вартість часу та долара")