Розрахунок теперішньої та майбутньої вартості ануїтетів

У якийсь момент вашого життя вам, можливо, довелося б здійснити низку фіксованих платежів протягом певного періоду часу (наприклад, орендної плати чи автомобільних платежів), або ви отримали ряд платежів протягом певного періоду часу, наприклад відсотки від облігацій або Компакт-диски. Вони називаються ануїтетами (більш загальне використання цього слова - не плутати з конкретним фінансовим продуктом, який називається ануїтет, хоча два пов'язані між собою). Якщо ви розумієте часову цінність грошей, ви готові дізнатися про ануїтети та про те, як обчислюються їх теперішні та майбутні значення.

Що таке ануїтети?

Ануїтети - це, по суті, ряд фіксованих платежів, що вимагаються від вас або виплачуються вам із визначеною періодичністю протягом певного періоду часу. Частота оплати може бути щорічною, піврічною (двічі на рік), щоквартальною та щомісячною. Існує два основні види ануїтетів: звичайні ануїтети та ануїтети.

• Звичайна ануїтет: виплати потрібно проводити наприкінці кожного періоду. Наприклад, прямі облігації зазвичай здійснюють купонні виплати наприкінці кожні шість місяців до дати погашення облігації.
• Ануїтети, що сплачуються: платежі необхідні на початку кожного періоду. Орендна плата - приклад сплати ануїтету. Зазвичай вам потрібно платити орендну плату, коли ви вперше переїжджаєте на початку місяця, а потім першого місяця після цього.

Оскільки теперішні та майбутні розрахунки вартості звичайних ануїтетів та належних ануїтетів дещо відрізняються, ми обговоримо їх окремо.

Звичайні ануї

Розрахунок майбутньої вартості

Якщо ви знаєте, скільки ви можете вкласти за певний період протягом певного періоду часу, майбутня вартість (FV) звичайної формули ануїтету корисна для того, щоб дізнатися, скільки ви мали б у майбутньому. Якщо ви здійснюєте платежі за кредитом, майбутня вартість буде корисною для визначення загальної вартості позики. Якщо ви знаєте, скільки ви плануєте вкладати щороку та фіксовану норму повернення гарантій ануїтету - або, за кредитами, суму своїх платежів та задану процентну ставку - ви можете легко визначити вартість свого рахунку в будь-який момент майбутнє.

Перейдемо до прикладу 1. Розглянемо наступний графік грошових потоків ануїтету:

Для обчислення майбутньої вартості ануїтету ми повинні обчислити майбутню вартість кожного грошового потоку. Припустимо, що ви отримуєте 1000 доларів щороку протягом наступних п’яти років, і ви вкладаєте кожен платіж під 5% відсотків. На наступній схемі показано, скільки б у вас було на кінець п'ятирічки:

Оскільки ми маємо додати майбутню вартість кожного платежу, ви, можливо, помітили, що якщо у вас є звичайна ануїтет з багатьма грошовими потоками, знадобиться багато часу, щоб обчислити всі майбутні значення, а потім їх скласти разом. На щастя, математика пропонує формулу, яка служить ярликом для знаходження накопиченої вартості всіх грошових потоків, отриманих від звичайної ануїтету:

FVO регулярна ануїтет = C × [(1 + i) n − 1i] де: C = грошовий потік за періоди = відсоткова ставка = кількість платежів \ початок {вирівняний} & \ текст {FV} _ {\ текст {звичайний ~ ануїтет }} = \ текст {C} \ раз \ великий [\ dfrac {(1 + i) ^ n-1} {i} \ великий] \\ & \ textbf {де:} \\ & \ текст {C} = \ текст {Грошовий потік за період} \\ & i = \ текст {Процентна ставка} \\ & n = \ текст {Кількість платежів} \\ \ кінець {вирівняно} FVO регулярна ануїтет = C × [i (1 + i) n − 1] де: C = грошовий потік за періоди = відсоткова ставка = кількість платежів

Використовуючи наведену вище формулу для прикладу 1, це результат:

FVOrdinary Annuity = $ 1000 × [(1 + 0, 05) 5–10, 05] = $ 1000 × [5, 53] \ початок {вирівняний} \ текст {FV} _ {\ текст {Звичайний ~ ануїтет}} & = \ $ 1000 \ раз \ ліворуч [\ frac {(1 + 0, 05) ^ 5-1} {0, 05} \ право] \\ & = \ $ 1000 \ разів [5, 53] \\ & = \ $ 5525, 63 \ кінець {вирівняно} FVOrdinary Annuity = $ 1000 × [ 0, 05 (1 + 0, 05) 5−1] = $ 1000 × [5, 53]

Розрахунок теперішнього значення

Зауважимо, що різниця в центрі між 5525, 64 доларами та 5525, 63 доларів зумовлена ​​помилкою округлення в першому розрахунку. Кожне значення першого обчислення повинно бути округлене до найближчої копійки - чим більше вам доведеться округлювати числа в обчисленні, тим більше ймовірності помилок округлення. Отже, вищевказана формула не тільки забезпечує ярлик до знаходження ПВ звичайної ануїтету, але й дає більш точний результат.

Нинішня вартість ануїтету - це просто поточна вартість усього доходу, отриманого цією інвестицією в майбутньому. Цей розрахунок ґрунтується на концепції часової вартості грошей, де зазначено, що долар зараз коштує більше, ніж долар, зароблений у майбутньому. Через це в теперішніх розрахунках вартості використовується кількість часових періодів, протягом яких формується дохід, щоб дисконтувати вартість майбутніх платежів.

Якщо ви хочете визначити сьогоднішню вартість майбутнього ряду платежів, вам потрібно використовувати формулу, яка обчислює теперішню вартість (PV) звичайного ануїтету. Це формула, яку ви б використали як частину розрахунку цінних облігацій. ПВ звичайного ануїтету обчислює теперішню вартість купонних платежів, які ви отримаєте в майбутньому.

Для прикладу 2 ми будемо використовувати той самий графік грошових потоків ануїтету, як у прикладі 1. Для отримання загальної дисконтованої вартості нам потрібно взяти теперішню вартість кожного майбутнього платежу і, як це було зроблено в прикладі 1, додати грошові потоки разом.

Знову ж таки, обчислення та додавання всіх цих значень займе значну кількість часу, особливо якщо ми очікуємо багато майбутніх платежів. Хоча численні онлайн-калькулятори можуть визначити теперішню вартість ануїтету, формулу звичайної ануїтету не надто складно обчислити вручну, якщо використовувати математичний ярлик для ПВ звичайної ануїтету.

PVOрдинарна ануїтет = C × [1− (1 + i) −ni] \ текст {PV} _ {\ текст {Звичайний ~ ануїтет}} = \ текст {C} \ раз \ великий [\ dfrac {1- (1 + i) ^ {- n}} {i} \ Big] PVOзагальна ануїтет = C × [i1− (1 + i) −n]

Формула надає нам ПВ за кілька простих кроків. Ось розрахунок ануїтету, представлений на схемі для Прикладу 2:

PVOrdinary Annuity = $ 1000 × [1− (1 + 0, 05) −50, 05] = $ 1000 × [4, 33] \ початок {вирівняний} \ текст {PV} _ {\ текст {Звичайний ~ ануїтет}} & = \ $ 1000 \ разів \ Великий [\ dfrac {1- (1 + 0, 05) ^ {- 5}} {0, 05} \ Великий] \\ & = \ $ 1000 \ разів [4, 33] \\ & = \ $ 4329, 48 \ кінець {вирівняно} ПВОординарна ануїтет = $ 1000 × [0, 051− (1 + 0, 05) −5] = $ 1000 × [4, 33]

Розрахунок майбутньої вартості

Коли ви отримуєте або сплачуєте грошові потоки за виплатою ануїтету, ваш графік руху грошових коштів з’явиться таким чином:

Оскільки кожен платіж у серії проводиться на один період раніше, нам потрібно знизити формулу на один період назад. Невелика зміна формули FV звичайного ануїтету враховує платежі, що відбуваються на початку кожного періоду. У прикладі 3 давайте проілюструємо, чому ця модифікація потрібна, коли кожен платіж у розмірі 1000 доларів США здійснюється на початку періоду, а не наприкінці (процентна ставка все ще становить 5%):

Зауважте, що коли виплати проводяться на початку періоду, кожна сума зберігається довше на кінець періоду. Наприклад, якби 1000 доларів США були вкладені 1 січня, а не 31 грудня кожного року, останній платіж до того, як ми оцінимо наші інвестиції наприкінці п'яти років (31 грудня), був би здійснений за рік до цього (1 січня), а не того ж дня, коли його оцінюють. Майбутнє значення формули ануїтету буде читати:

FVAnnuity Due = C × [(1 + i) n − 1i] × (1 + i) FV _ {\ text {Annuity Due}} = C \ times \ left [\ frac {(1 + i) ^ n-1 } {i} \ вправо] \ раз (1 + i) FVAбанутність, обумовлена ​​= C × [i (1 + i) n − 1] × (1 + i)

Тому

FVAnnuity Due = $ 1000 × [(1 + 0, 05) 5−10, 05] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 5, 53 × 1, 05 \ початок {вирівняно} FV _ {\ текст {Ануїтет належить}} & = \ $ 1000 \ раз \ ліворуч [\ frac {(1 + 0, 05) ^ 5-1} {0, 05} \ право] \ раз (1 + 0, 05) \\ & = \ $ 1000 \ раз5, 53 \ раз1, 05 \\ & = \ $ 5801, 91 \ кінець { вирівнюється} FVAрічна сума = 1000 $ × [0, 05 (1 + 0, 05) 5−1] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 5, 53 × 1, 05

Ануїтет належний

Розрахунок теперішнього значення

Для теперішньої вартості формули, обумовленої ануїтетом, нам потрібно знизити формулу на один період вперед, оскільки виплати проводяться за менший проміжок часу. Розраховуючи теперішню вартість, ми припускаємо, що перший платіж був здійснений сьогодні.

Ми можемо використовувати цю формулу для обчислення теперішньої вартості майбутніх платежів за оренду, як зазначено в договорі оренди, який ви підписуєте з орендодавцем. Скажімо, ви здійснили свій перший плату за оренду (див. Приклад 4 нижче) на початку місяця і оцінюєте теперішню вартість вашої п'ятимісячної оренди в той же день. Ваш теперішній розрахунок вартості працює так:

Звичайно, ми можемо використовувати ярлик формули для обчислення поточної вартості ануїтету, що належить:

PVAnnuity Due = C × [1− (1 + i) −ni] × (1 + i) PV _ {\ текст {Anuity Due}} = C \ times \ left [\ frac {1- (1 + i) ^ {-n}} {i} \ право] \ раз (1 + i) PVAnnuity Due = C × [i1− (1 + i) −n] × (1 + i)

Тому

PVAnnuity Due = $ 1000 × [(1− (1 + 0, 05) −50, 05) × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 4, 33 × 1, 05 \ початок {вирівняно} PV _ {\ текст {Ануїтет належить}} & = \ $ 1000 \ раз \ зліва [\ frac {(1- (1 + 0, 05) ^ {- 5}} {0, 05} \ праворуч] \ раз (1 + 0, 05) \\ & = \ $ 1000 \ times4.33 \ times1.05 \\ & = \ 4545, 95 $ \ кінець {вирівняно} PVAnnuity Due = $ 1000 × [0, 05 (1− (1 + 0, 05) −5] × (1 + 0, 05) = 1000 × 4, 33 × 1, 05

Нагадаємо, що теперішня вартість звичайного ануїтету повернула значення в 4329, 48 доларів. Нинішня вартість звичайного ануїтету менша, ніж у ануїтету, тому що чим далі ми дисконтуємо майбутній платіж, тим нижча його теперішня вартість - кожен платіж або грошовий потік у звичайній ануїтеті відбувається на один період у майбутнє.

Часова цінність грошей

Майбутній розрахунок вартості базується на концепції часової вартості грошей. Це просто означає, що долар, зароблений сьогодні, коштує більше, ніж долар, зароблений завтра, тому що кошти, якими ви зараз керуєте, можуть бути вкладені та заробити відсотки з часом. Тому майбутня вартість ануїтету більша за суму всіх ваших інвестицій, оскільки ці внески з часом заробляли відсотки. Наприклад, майбутня вартість 1000 доларів, вкладених сьогодні під 10% відсотків, становить 1100 доларів США за рік відтепер. Один долар сьогодні коштує 1, 10 долара на рік через часову вартість грошей.

Припустимо, що ви робите щорічні платежі в розмірі 5000 доларів США за звичайний ануїтет протягом 15 років. Він заробляє 9% відсотків, щорічно збільшується.

FV = 5000 $ × {(((1 + 0, 09) 15) −1) ÷ 0, 09} = 5000 $ × {((1.0915) −1) ÷ 0, 09} = 5000 $ × 2.642 ÷ 0, 09 \ початок {вирівняно} FV & = \ 5000 $ \ раз \ {(((1 + 0, 09) ^ {15}) - 1) \ div 0, 09 \} \\ & = \ $ 5000 \ раз \ {((1, 09 ^ {15}) - 1) \ div 0, 09 \ } \\ & = \ 5000 $ \ раз 2.642 \ div 0, 09 \\ & = \ 5000 $ \ раз \ 146 14604, 58 \ кінець {вирівняно} FV = 5000 $ × {(((1 + 0, 09) 15) −1) ÷ 0, 09} = 5000 $ {{((1.0915) −1) ÷ 0, 09} = 5000 $ × 2.642 ÷ 0, 09

Без урахування потенційних інтересів ваш внесок у розмір 5000 внесків коштує лише 75 000 доларів наприкінці 15 років. Натомість, зі складними відсотками, майбутня вартість вашого ануїтету майже вдвічі більша за 146804, 58 дол.

Щоб обчислити майбутню вартість належної ануїтету, просто помножте звичайну майбутню вартість на 1+ i (процентну ставку). У наведеному вище прикладі майбутня вартість ануїтету, обумовлена ​​тими ж параметрами, становить просто 146 804, 58 доларів x (1 + 0, 09), або 160 066, 99 дол.

Присутні міркування щодо вартості

При розрахунку теперішньої вартості ануїтету важливо, щоб всі змінні були узгодженими. Якщо, наприклад, ануїтет створює щорічні платежі, відсоткова ставка також повинна бути виражена як річна ставка. Наприклад, якщо ануїтет утворює щомісячні платежі, наприклад, процентна ставка також повинна бути виражена як місячна ставка.

Припустимо, ануїтет має 10% процентну ставку, яка генерує щорічні виплати в розмірі 3000 доларів США протягом наступних 15 років. Нинішня вартість цього ануїтету становить:

= $ 3000 × (((1− (1 + 0, 1) −15)) ÷ 0, 1) = 3 000 × $ ((1 −2, 239392) ÷ 0, 1) = 3000 $ × (0, 760608 ÷ 0, 1) = 3 000 × 7, 660608 \ початок {вирівняно } & = \ $ 3000 \ раз (((1 - (1 + 0, 1) ^ {- 15})) \ div 0, 1) \\ & = \ $ 3000 \ раз ((1 - .239392) \ div 0, 1) \\ & = \ 3000 $ \ раз (0, 760608 \ div 0, 1) \\ & = \ $ 3000 \ раз 7, 60608 \\ & = \ 22, 818 $ \ кінець {вирівняно} = $ 3000 × (((1− (1 + 0, 1) −15)) ÷ 0, 1) = 3000 × × ((1 − .239392) ÷ 0, 1) = 3000 × × $ (0, 760608 ÷ 0, 1) = 3 000 × 7, 660608

Нинішня вартість ануїтету

Суть

Тепер ви можете бачити, як ануїтети впливають на те, як ви обчислюєте теперішню та майбутню вартість будь-якої суми грошей. Пам’ятайте, що частота платежів або кількість платежів та час здійснення цих платежів (будь то на початку чи в кінці кожного періоду платежів) - це всі змінні, які потрібно враховувати у своїх розрахунках.

Плануючи вихід на пенсію, важливо добре уявити, на який дохід можна покластися щороку. Хоча відстежувати, скільки ви вкладаєте у пенсійні плани, спонсоровані роботодавцем, індивідуальні пенсійні рахунки (ІРА) та ануїтети, може бути досить просто, але не завжди так легко дізнатися, скільки ви отримаєте. На щастя, якщо мова йде про ануїтети з фіксованою ставкою або плани, вкладені в цінні папери з фіксованою ставкою, існує простий спосіб підрахувати, скільки грошей ви можете розраховувати на отримання після виходу на пенсію, виходячи з того, скільки ви внесли на рахунок протягом своїх робочих років .