Різниця між середнім арифметичним та геометричним середнім

Існує багато способів вимірювання ефективності фінансового портфеля та визначення успішності інвестиційної стратегії. Для цього інвестиційні фахівці часто використовують середнє геометричне значення , яке частіше називають середнім геометричним.

Геометричне середнє відрізняється від середнього арифметичного чи середнього арифметичного тим, як воно розраховується, оскільки воно враховує складання, яке відбувається від періоду до періоду. Через це інвестори зазвичай вважають геометричне середнє значення більш точним показником прибутку, ніж середнє арифметичне.

Формула середнього арифметичного

A = 1n∑i = 1nai = a1 + a2 +… + annwhere: a1, a2, …, an = Портфоліо повертається за період nn = Кількість періодів \ початок {вирівняно} & A = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n a_i = \ frac {a_1 + a_2 + \ dotso + a_n} {n} \\ & \ textbf {де:} \\ & a_1, a_2, \ dotso, a_n = \ текст {Портфоліо повертається за період} n \\ & n = \ текст {Кількість періодів} \\ \ кінець {вирівняно} A = n1 i = 1∑n ai = na1 + a2 +… + an де: a1, a2, …, an = Портфоліо повертає за період nn = Кількість періодів

Середнє арифметичне

Як обчислити середнє арифметичне

Середнє арифметичне - це сума ряду чисел, поділена на кількість цього ряду чисел.

Якби вас попросили знайти середню оцінку (арифметичне) тестових балів, ви просто склали б усі тестові бали учнів, а потім поділили цю суму на кількість учнів. Наприклад, якщо п’ять студентів склали іспит, а їхні бали склали 60%, 70%, 80%, 90% та 100%, середнє арифметичне заняття було б 80%.

Це буде обчислено як:

60% + 70% + 80% + 90% + 100% 5 = 80% \ початок {вирівняно} & \ frac {60 \% + 70 \% + 80 \% + 90 \% + 100 \%} {5 } = 80 \% \\ \ кінець {вирівняно} 560% + 70% + 80% + 90% + 100% = 80%

Причина, по якій ми використовуємо середнє арифметичне для тестових балів, полягає в тому, що кожна оцінка є незалежною подією. Якщо один студент погано працює на іспиті, шанси наступного студента погано (або добре) на іспиті не впливають.

У світі фінансів середнє арифметичне зазвичай не є відповідним методом обчислення середнього. Розглянемо, наприклад, прибутковість інвестицій. Припустимо, ви вклали свої заощадження на фінансових ринках протягом п'яти років. Якщо щорічні прибутки вашого портфеля становлять 90%, 10%, 20%, 30% та -90%, якою була б ваша середня доходність за цей період?

З середнім арифметичним показником середня віддача становила б 12%, що здається на перший погляд вражаючим, але це не зовсім точно. Це тому, що якщо говорити про щорічну прибутковість інвестицій, то цифри не залежать один від одного. Якщо ви втратите значну суму грошей в конкретному році, у вас буде набагато менше капіталу для інвестування та отримання прибутку в наступні роки.

Нам потрібно обчислити геометричне середнє значення ваших інвестиційних доходів, щоб точно визначити, якою буде ваша фактична середньорічна дохідність за п'ятирічний період.

Формула для геометричного середнього

(∏i = 1nxi) 1n = x1x2… xnnwhere: x1, x2, ⋯ = Портфоліо повертається за кожен періодn = Кількість періодів \ початок {вирівняно} & \ ліворуч (\ prod_ {i = 1} ^ n x_i \ праворуч) ^ {\ frac {1} {n}} = \ sqrt [n] {x_1 x_2 \ крапки x_n} \\ & \ textbf {де:} \\ & x_1, x_2, \ крапки = \ текст {Портфоліо повертається за кожен період } \\ & n = \ текст {Кількість періодів} \\ \ кінець {вирівняно} (i = 1∏n xi) n1 = nx1 x2… xn де: x1, x2, ⋯ = Повернення портфеля за кожен періодn = Кількість періодів

Як обчислити геометричне середнє

Середнє геометричне значення для ряду чисел обчислюється, беручи добуток цих чисел і піднімаючи його до оберненої довжини ряду.

Для цього ми додаємо по одному до кожного числа (щоб уникнути проблем із негативними відсотками). Потім помножте всі числа разом і піднесіть їх добуток на силу одиниці, поділеної на підрахунок чисел у ряді. Потім віднімаємо одне з результату.

Формула, написана десятковими знаками, виглядає приблизно так:

[(1 + R1) × (1 + R2) × (1 + R3)… × (1 + Rn)] 1n − 1, де: R = Returnn = Підрахунок чисел у ряді \ початок {вирівняно} & [( 1 + \ текст {R} _1) \ раз (1 + \ текст {R} _2) \ раз (1 + \ текст {R} _3) \ dotso \ раз (1 + \ текст {R} _n)] ^ { \ frac {1} {n}} - 1 \\ & \ textbf {де:} \\ & \ текст {R} = \ текст {повернення} \\ & n = \ текст {Підрахунок чисел у серії} \ \ \ кінець {вирівняний} [(1 + R1) × (1 + R2) × (1 + R3)… × (1 + Rn)] n1 −1, де: R = Returnn = кількість чисел в серії

Формула видається досить насиченою, але на папері вона не така складна. Повертаючись до нашого прикладу, давайте обчислимо геометричне середнє значення: наші прибутки склали 90%, 10%, 20%, 30% та -90%, тому ми підключаємо їх до формули у вигляді:

(1, 9 × 1, 1 × 1, 2 × 1, 3 × 0, 1) 15−1 \ початок {вирівняний} & (1, 9 \ раз 1, 1 \ раз 1, 2 \ раз 1, 3 \ раз 0, 1) ^ {\ frac {1} {5}} -1 \ \ \ кінець {вирівняний} (1, 9 × 1, 1 × 1, 2 × 1, 3 × 0, 1) 51 −1

Результат дає геометричну середньорічну віддачу -20, 08%. Результат за допомогою геометричного середнього набагато гірший за середнє арифметичне значення 12%, яке ми обчислили раніше, і, на жаль, це також число, яке представляє реальність у цьому випадку.

Ключові вивезення

• Геометричне середнє найбільш підходить для рядів, що демонструють послідовну кореляцію. Особливо це стосується інвестиційних портфелів.
• Більша частина прибутковості фінансів корелює, включаючи дохідність за облігаціями, дохідність акцій та премії за ринковий ризик. Чим довший часовий горизонт, тим більш критичним стає складання, і більш доцільним є використання геометричного середнього.
• Для мінливих чисел геометричне середнє забезпечує набагато більш точне вимірювання справжнього прибутку, враховуючи складання за рік за рік.