Модель чорних школярів
Модель Black Scholes, також відома як модель Black-Scholes-Merton (BSM), є математичною моделлю для цінового контракту. Зокрема, модель оцінює коливання фінансових інструментів у часі, таких як акції, та використання неявної мінливості базового активу отримує ціну опціону виклику.
Ключові вивезення
- Модель Мертона Чорного Шоулса (BSM) - це диференціальне рівняння, яке використовується для вирішення цін на опціони.
- Модель завоювала Нобелівську премію з економіки.
- Стандартна модель BSM використовується лише для ціноутворення європейських опціонів і не враховує, що опції в США можуть бути використані до дати закінчення терміну дії.
Основи моделі чорних школярів
Модель передбачає, що ціна активів, що активно торгуються, слідує за геометричним броунівським рухом з постійним дрейфом та мінливістю. Застосовуючи опціон акції, модель включає постійні коливання цін на акції, часову вартість грошей, ціну страйку опціону та час до закінчення терміну дії опціону.
Також її називали Black-Scholes-Merton, це була перша широко використовувана модель для ціноутворення опціонів. Він використовується для обчислення теоретичної вартості опціонів, використовуючи поточні ціни на акції, очікувані дивіденди, страйк опціону, очікувані відсоткові ставки, час до закінчення терміну та очікувана мінливість.
Формула, розроблена трьома економістами - Фішером Блек, Майроном Скоулсом та Робертом Мертоном - чи не найвідоміша в світі модель ціноутворення варіантів. Це було внесено в їхній статті 1973 року "Ціни на опціони та корпоративні зобов'язання", опублікованій в Журналі політичної економії . Блек минув за два роки до того, як Шоулз і Мертон були присуджені Нобелівською премією в 1997 році за їх роботу в пошуку нового методу для визначення вартості похідних (Нобелівська премія не присуджується посмертно; однак, Нобелівський комітет визнав роль Чорного в Модель Чорно-Шоулз).
Модель Black-Scholes робить певні припущення:
- Варіант є європейським і може здійснюватися лише після закінчення терміну дії.
- Дивіденди не виплачуються протягом терміну дії опціону.
- Ринки ефективні (тобто руху ринку неможливо передбачити).
- При покупці опціону немає трансакційних витрат.
- Безризикова ставка та мінливість основних є відомими та постійними.
- Прибутковість на базовій основі зазвичай розподіляється.
Незважаючи на те, що оригінальна модель Black-Scholes не враховувала наслідків дивідендів, виплачених протягом життя опціону, модель часто адаптується для обліку дивідендів шляхом визначення вартості базових акцій на дату колишнього дивіденду.
Формула Чорних Шоулз
Математика, яка бере участь у формулі, є складною і може залякати. На щастя, вам не потрібно знати і навіть не розуміти математику, щоб використовувати моделювання Black-Scholes у власних стратегіях. Торговці опціонами мають доступ до різноманітних калькуляторів онлайн-опціонів, і багато сучасних торгових платформ можуть похвалитися надійними інструментами аналізу опцій, включаючи індикатори та електронні таблиці, які виконують розрахунки та виводять значення цін на опціони.
Формула виклику Black Scholes розраховується шляхом множення ціни акцій на накопичувальну стандартну функцію нормального розподілу ймовірностей. Після цього чиста приведена вартість (NPV) страйкової ціни, помножена на кумулятивний стандартний нормальний розподіл, віднімається з отриманого значення попереднього розрахунку.
У математичному позначенні:
C = StN (d1) −Ke − rtN (d2), де: d1 = lnStK + (r + σv22) tσs tandd2 = d1 −sσ туди: C = опція виклику priceS = поточна акція (або інша базова) ціна K = страйк = Безризикова процентна ставкаt = Час до погашенняN = Нормальний розподіл \ початок {вирівняний} & C = S_t N (d _1) - K e ^ {- rt} N (d _2) \\ & \ textbf {де:} \\ & d_1 = \ frac {ln \ frac {S_t} {K} + (r + \ frac {\ sigma ^ {2} _v} {2}) \ t} {\ sigma_s \ \ sqrt {t}} \\ & \ текст {і} \\ & d_2 = d _1 - \ sigma_s \ \ sqrt {t} \\ & \ textbf {де:} \\ & C = \ текст {Ціна опції виклику} \\ & S = \ текст {Поточний запас (або інший основна) ціна} \\ & K = \ текст {Страйкова ціна} \\ & r = \ текст {Безризикова процентна ставка} \\ & t = \ текст {Час до погашення} \\ & N = \ текст {Нормальний розподіл} \ \ \ кінець {вирівняно} C = St N (d1) −Ke − rtN (d2), де: d1 = σs t lnKSt + (r + 2σv2) t andd2 = d1 −σs t де: C = ціна опціону для викликуS = поточна ціна акцій (або інша базова) ціна K = страйкова ціна = безризикова процентна ставкаt = час до погашенняN = нормальний розподіл
1:33Модель чорношкірців
Про що говорить вам модель чорних школярів?
Модель Чорних Шоулз - одне з найважливіших концепцій сучасної фінансової теорії. Він був розроблений у 1973 році Фішером Блек, Робертом Мертоном та Майроном Скоулсом і досі широко використовується. Це розцінюється як один з найкращих способів визначення справедливих цін опціонів. Модель Black Scholes вимагає п'яти вхідних змінних: страйкова ціна опціону, поточна ціна акцій, час закінчення терміну дії, безризикова ставка та мінливість.
Модель передбачає, що ціни на акції дотримуються логічного розподілу, оскільки ціни на активи не можуть бути негативними (вони обмежені нулем). Це також відоме як розподіл Гаусса. Часто спостерігається, що ціни на активи мають значну правність і певний ступінь куртозу (жирові хвости). Це означає, що риски вниз з високим рівнем ризику трапляються частіше на ринку, ніж прогнозує звичайне розповсюдження.
Припущення про лонормальні базові ціни активів, таким чином, повинно показувати, що мається на увазі нестабільність однакових для кожної страйкової ціни відповідно до моделі Блек-Шоулз. Однак, з моменту краху ринку 1987 року, мінливі коливання грошових варіантів були нижчими, ніж ті, що виходять з-за грошей або далеко не в грошах. Причиною цього явища є ринкове ціноутворення з більшою ймовірністю високої мінливості перейти на спад на ринках.
Це призвело до наявності перекосу леткості. Коли підкреслені нестабільності для опцій з однаковим терміном придатності відображаються на графіку, можна побачити форму посмішки або перекосу. Таким чином, модель Black-Scholes не є ефективною для обчислення загальної мінливості.
Обмеження моделі Чорних Шоулів
Як було сказано раніше, модель Black Scholes використовується лише для ціни європейських опціонів і не враховує, що опції в США можуть бути використані до дати закінчення терміну дії. Більше того, модель передбачає, що дивіденди і безризикові ставки є постійними, але це може бути неправдою. Модель також передбачає, що волатильність залишається постійною протягом життя опціону, що не так, оскільки мінливість коливається з рівнем попиту та пропозиції.
Більше того, модель передбачає, що транзакційних витрат чи податків немає; що безризикова процентна ставка є постійною для всіх строків погашення; що допускається короткий продаж цінних паперів з використанням виручки; і що немає жодних ризикових арбітражних можливостей. Ці припущення можуть призвести до цін, що відхиляються від реального світу, де ці фактори є.