Розбиття біноміальної моделі для оцінки варіанту

У фінансовому світі моделі оцінки Блек-Скоулса та біноміального варіанту є двома найважливішими концепціями сучасної фінансової теорії. Обидва використовуються для оцінки опції, і кожен має свої переваги та недоліки.

Деякі основні переваги використання біноміальної моделі:

• багаторазовий перегляд
• прозорість
• можливість включення ймовірностей

У цій статті ми дослідимо переваги використання біноміальної моделі замість моделі Блек-Шоулса та надамо основні кроки для розробки моделі та пояснимо, як вона використовується.

Перегляд у декілька періодів

Біноміальна модель забезпечує багаторічний перегляд базової ціни активів, а також ціни опціону. На відміну від моделі Black-Scholes, яка забезпечує числовий результат на основі вхідних даних, біноміальна модель дозволяє проводити розрахунок активу та опції для декількох періодів разом із діапазоном можливих результатів для кожного періоду (див. Нижче).

Перевага цього перегляду на багато періодів полягає в тому, що користувач може візуалізувати зміну ціни активів від періоду до періоду та оцінити варіант на основі рішень, прийнятих в різні моменти часу. Для американського варіанту, який можна здійснити в будь-який час до дати закінчення терміну дії, біноміальна модель може дати зрозуміти, коли реалізація опції може бути доцільною, а також коли вона повинна проводитися довше. Переглядаючи біноміальне дерево цінностей, торговець може заздалегідь визначити, коли може відбутися рішення про вправу. Якщо опція має позитивне значення, існує можливість здійснення, тоді як, якщо опція має значення менше нуля, її слід тримати довше.

Прозорість

Тісно пов'язаний з багаторічним оглядом - це здатність біноміальної моделі забезпечувати прозорість базової вартості активу та опціону з часом. Модель Black-Scholes має п'ять входів:

1. Безризикова ставка
2. Ціна вправи
3. Поточна ціна активу
4. Час до зрілості
5. Мається на увазі мінливість ціни на активи

Коли ці точки даних вводяться в модель Black-Scholes, модель обчислює значення для опціону, але вплив цих факторів не виявляється періодично. За допомогою біноміальної моделі трейдер може побачити зміну базової ціни активів від періоду до періоду та відповідну зміну ціни опціону.

Включення ймовірностей

Основний метод обчислення моделі біноміальної опції - використовувати однакову ймовірність кожного періоду для успіху та невдачі, поки опція не закінчиться. Однак трейдер може включати різні ймовірності для кожного періоду на основі нової інформації, одержаної з часом.

Наприклад, існує ймовірність 50/50, що ціна базового активу може збільшитися або знизитися на 30 відсотків за один період. Однак для другого періоду ймовірність збільшення базової ціни активів може зрости до 70/30. Наприклад, якщо інвестор оцінює нафтову свердловину, той інвестор не впевнений, яка цінність цієї нафтової свердловини, але існує ймовірність 50/50, що ціна зросте. Якщо ціни на нафту в Перший період зростуть, а нафта стає ціннішою, а основи ринку тепер вказують на продовження зростання цін на нафту, то ймовірність подальшого подорожчання може становити 70 відсотків. Біноміальна модель забезпечує цю гнучкість; модель Black-Scholes - ні.

Розробка моделі

Найпростіша біноміальна модель матиме дві очікувані віддачі, ймовірності яких становлять до 100 відсотків. У нашому прикладі є два можливі результати для нафтової свердловини в кожен момент часу. Більш складна версія може мати три або більше різних результатів, кожному з яких надається ймовірність виникнення.

Для обчислення прибутку за період, починаючи з нуля часу (зараз), ми повинні зробити визначення вартості базового активу через один період. У цьому прикладі ми припускаємо наступне:

• Ціна базового активу (P): 500 доларів
• Ціна вправи на опцію дзвінка (K): 600 доларів
• Безризикова ставка за період: 1 відсоток
• Зміна ціни за кожен період: 30 відсотків вгору або вниз

Ціна основного активу становить 500 доларів США, а в період 1 вона може становити 650 або 350 доларів. Це було б еквівалентом збільшення або зменшення на 30 відсотків за один період. Оскільки ціна здійснення опціонів виклику, яку ми проводимо, становить 600 доларів, якщо базовий актив закінчиться менше 600 доларів, значення опції виклику буде нульовим. З іншого боку, якщо базовий актив перевищує ціну здійснення в розмірі 600 доларів США, значення опціону виклику буде різницею між ціною базового активу і ціною здійснення. Формула цього розрахунку становить [max (PK), 0].

max [(P − K), 0] де: P = Ціна базового активуK = ціна здійснення опції виклику \ початок {вирівняно} & \ max {\ ліворуч [\ зліва (ПК \ праворуч), 0 \ право]}} \ \ \\ & \ textbf {де:} \\ & P = \ текст {Ціна основного активу} \\ & K = \ текст {опція виклику, ціна здійснення}} \\ \ кінець {вирівняний} макс. [(P − K), 0] де: P = ціна базового активуK = ціна здійснення опції виклику

Припустимо, є 50 відсотків шансу піднятися і 50 відсотків шансу спуститися. Використовуючи для прикладу значення Період 1, це обчислюється як

max [($ 650 - $ 600), 0] ∗ 0, 5 + макс [($ 350 - $ 600), 0] ∗ 0, 5 = $ 50 ∗ 0, 5 + $ 0 = $ 25 \ початок {вирівняно} & \ max {\ вліво [\ вліво (\ $ 650 - \ $ 600 \ праворуч, 0 \ право]} * 0, 5+ \ макс {\ ліворуч [\ ліворуч (\ $ 350 - \ $ 600 \ праворуч), 0 \ право]} * 0, 5 \\ & = \ $ 50 * 0, 5 + \ $ 0 = \ 25 $ \\ \ кінець {вирівняний} макс [($ 650 - $ 600), 0] ∗ 0, 5 + макс [($ 350 - $ 600), 0] ∗ 0, 5 = $ 50 ∗ 0, 5 + $ 0 = $ 25

Щоб отримати поточне значення опції виклику, нам потрібно знизити 25 доларів у Період 1 назад до періоду 0, тобто

$ 25 / (1 + 1%) = $ 24, 75 \ $ 25 / \ зліва (1 + 1 \% \ праворуч) = \ $ 24, 75 $ 25 / (1 + 1%) = $ 24, 75

Тепер ви можете бачити, що якщо ймовірності будуть змінені, очікуване значення базового активу також зміниться. Якщо ймовірність повинна бути змінена, вона також може бути змінена для кожного наступного періоду і не обов'язково повинна залишатися однаковою протягом усього.

Біноміальна модель може бути легко розширена до декількох періодів. Хоча модель Black-Scholes може обчислити результат подовженої дати закінчення терміну придатності, біноміальна модель розширює точки прийняття рішення на кілька періодів.

Використання для біноміальної моделі

Окрім використання в якості методу для обчислення вартості опціону, біноміальна модель також може бути використана для проектів чи інвестицій з високим ступенем невизначеності, рішень щодо капітального бюджетування та розподілу ресурсів, а також для проектів з декількома періодами або вбудований варіант або продовжити або відмовитися від проекту в певні моменти часу.

Один простий приклад - проект, який передбачає буріння нафти. Невизначеність цього типу проекту, чи має бурова земля взагалі якась нафта, кількість нафти, яку можна пробурити, якщо нафта знайдена, і ціна, за якою нафта може бути продана після видобутку.

Модель біноміального варіанту може допомогти у прийнятті рішень у кожній точці проекту буріння нафти. Наприклад, припустимо, що ми вирішимо пробурити свердловину, але нафтова свердловина буде вигідною лише в тому випадку, якщо ми знайдемо достатню кількість нафти і ціна нафти перевищить певну суму. Знадобиться один повний період, щоб визначити, скільки нафти ми можемо видобути, а також ціну на нафту в цей момент часу. Після першого періоду (наприклад, один рік), ми можемо вирішити, виходячи з цих двох точок даних, продовжувати розробляти або відмовлятися від проекту. Ці рішення можна постійно приймати до тих пір, поки не буде досягнута точка, коли буріння не має значення, і тоді свердловина буде залишена.

Суть

Біноміальна модель дає більш детальний вигляд, дозволяючи переглядати багато періодів базову ціну активів та ціну опціону на кілька періодів, а також діапазон можливих результатів для кожного періоду. Незважаючи на те, що як модель Black-Scholes, так і біноміальна модель можуть використовуватися для оцінювання варіантів, біноміальна модель має більш широкий спектр застосувань, є більш інтуїтивно зрозумілою та легшою у використанні.