Розуміння моделі біноміального варіанту ціноутворення

Домовитися про точне ціноутворення на будь-який торгуваний актив є складним завданням - тому ціни на акції постійно змінюються. Насправді компанії навряд чи змінюють свою оцінку щодня, але ціни на акції та оцінки змінюються майже щосекунди. Ця складність у досягненні консенсусу щодо правильної ціни на будь-який торгуваний актив призводить до короткочасних арбітражних можливостей.

Але багато успішних інвестицій зводиться до простого питання сучасної оцінки - яка сьогодні правильна ціна для очікуваної майбутньої виплати?

Оцінка біномінальних варіантів

На конкурентному ринку, щоб уникнути арбітражних можливостей, активи з однаковою структурою виплат повинні мати однакову ціну. Оцінка варіантів була складним завданням, і коливання цін призводить до арбітражних можливостей. Black-Scholes залишається однією з найпопулярніших моделей, яка використовується для ціноутворення, але має обмеження.

Модель ціноутворення біноміальних варіантів - ще один популярний метод, який використовується для варіантів ціноутворення.

Приклади

Припустимо, що для конкретної акції є опція дзвінка з поточною ринковою ціною 100 доларів. Варіант "гроші" (банкомат) має страйкову ціну 100 доларів США з часом до закінчення одного року. Є два торговця, Пітер та Паула, які обидва згодні, що ціна акцій або зросте до 110 доларів, або впаде до 90 доларів за один рік.

Вони погоджуються з очікуваними рівнями цін за певний період часу, але не згодні з вірогідністю руху вгору або вниз. Пітер вважає, що ймовірність того, що ціна акцій знизиться до 110 доларів, становить 60%, тоді як Паула вважає, що це 40%.

Виходячи з цього, хто буде готовий платити більше за опцію дзвінка? Можливо, Пітер, оскільки він очікує великої ймовірності підйому вгору.

Розрахунки біномінальних варіантів

Два активи, від яких залежить оцінка, є опціоном виклику та базовим запасом. Серед учасників існує домовленість про те, що базова ціна акцій може переміститися з поточних 100 до 110 або 90 доларів за один рік, і немає інших можливих цінових зрушень.

Якщо в арбітражному світі немає необхідності створити портфель, що складається з цих двох активів, опціону виклику та базових акцій, таким чином, що незалежно від того, куди йде базова ціна - 110 доларів США або 90 доларів США, чистий прибуток у портфелі завжди залишається колишнім . Припустимо, ви купуєте "d" акції основної та короткої опції для одного виклику для створення цього портфоліо.

Якщо ціна перейде до $ 110, ваші акції будуть коштувати $ 110 * d, і ви втратите 10 доларів при виплаті за короткий виклик. Чиста вартість вашого портфеля становитиме (110d - 10).

Якщо ціна знизиться до $ 90, ваші акції будуть коштувати $ 90 * d, а опція втратить чинність. Чиста вартість вашого портфеля складе (90d).

Якщо ви хочете, щоб вартість вашого портфеля залишалася однаковою незалежно від того, куди йде основна ціна акцій, то вартість вашого портфеля повинна залишатися однаковою в будь-якому випадку:

h (d) −m = l (d), де: h = найвищий потенціал, що лежить в основі = кількість базових акційm = гроші, втрачені за виплату за короткий виклик = найнижча потенційна базова ціна \ початок {узгоджується} & h (d) - m = l (d) \\ & \ textbf {де:} \\ & h = \ текст {Найвища потенційна базова ціна} \\ & d = \ текст {Кількість базових акцій} \\ & m = \ текст {Гроші, втрачені за виплату за короткий виклик} \\ & l = \ текст {Найнижча потенційна базова ціна} \\ \ кінець {вирівняний} h (d) −m = l (d) де: h = найвища потенційна базова ціна = кількість базових акційm = гроші, втрачені за короткий дзвінок payoffl = Найнижча потенційна базова ціна

Таким чином, якщо ви купуєте половину акцій, припускаючи, що можливі часткові покупки, вам вдасться створити портфель, щоб його вартість залишалася однаковою для обох можливих станів протягом заданого періоду року.

110d − 10 = 90dd = 12 \ початок {вирівняний} & 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \\ \ кінець {вирівняний} 110d − 10 = 90dd = 21

Ця вартість портфеля, зазначена (90d) або (110d - 10) = 45, знаходиться на рік за лінією. Для обчислення його теперішньої вартості її можна дисконтувати за безризиковою нормою прибутку (припускаючи 5%).

Поточне значення = 90d × e (−5% × 1 рік) = 45 × 0, 9523 = 42, 85 \ початок {вирівняне} \ текст {теперішнє значення} & = 90d \ разів е ^ {(-5 \% \ раз 1 \ текст {Рік})} \\ & = 45 \ раз 0.9523 \\ & = 42, 85 \\ \ кінець {вирівняно} Поточне значення = 90d × e (−5% × 1 рік) = 45 × 0, 9523 = 42, 85

Оскільки в даний час портфель складається з ½ частки базових акцій (з ринковою ціною 100 доларів) та одного короткого дзвінка, він повинен дорівнювати теперішній вартості.

12 × 100−1 × Ціна дзвінка = $ 42, 85Ціна дзвінка = 7, 14 дол. США, тобто ціна дзвінка сьогодні \ почнеться {вирівняно} & \ frac {1} {2} \ раз 100 - 1 \ раз \ текст {Вартість дзвінка} = \ $ 42, 85 \\ & \ текст {Вартість дзвінка} = \ 7, 14 $ \ текст {, тобто ціна дзвінка сьогодні} \\ \ кінець {вирівняно} 21 × 100−1 × Ціна дзвінка = $ 42, 85Ціна дзвінка = $ 7, 14, тобто ціна дзвінка сьогодні

Оскільки це ґрунтується на припущенні, що вартість портфеля залишається незмінною незалежно від того, в який бік йде основна ціна, ймовірність руху вгору або вниз не грає ніякої ролі. Портфель залишається безризиковим, незалежно від основних цінових рухів.

В обох випадках (передбачається, що вони перейдуть до $ 110 і вниз до $ 90), ваш портфель нейтральний до ризику і отримує безризикову норму прибутку.

Отже, обидва торговці, Пітер та Паула, будуть готові заплатити ті ж 7, 14 доларів за цей варіант виклику, незважаючи на їхнє різне уявлення про ймовірність збільшення курсу (60% та 40%). Їх індивідуально сприйняті ймовірності не мають значення в оцінці варіантів.

Якщо припустити, що індивідуальні ймовірності мають значення, можливо, арбітражні можливості представили себе. У реальному світі такі арбітражні можливості існують із незначними ціновими різницями та зникають у короткий термін.

Але де в усіх цих розрахунках сильно зменшена мінливість, важливий і чутливий фактор, який впливає на ціноутворення опціонів?

Нестабільність вже включена до характеру визначення проблеми. Якщо припустити два (і лише два - звідси назва "двочленний") рівень цін ($ 110 і $ 90), мінливість в цьому припущенні неявна і включається автоматично (10% в будь-якому випадку в цьому прикладі).

Чорношкірі

Але чи правильний такий підхід і цілком узгоджується із загальновживаними цінами на Чорношкірі? Результати калькулятора параметрів (люб’язно надано OIC) тісно відповідають обчисленому значенню:

На жаль, реальний світ не такий простий, як "лише два штати". Акція може досягти декількох рівнів цін до закінчення терміну дії.

Чи можливо включити всі ці декілька рівнів у біноміальну модель ціноутворення, яка обмежена лише двома рівнями ">

Проста математика

Щоб узагальнити цю проблему та вирішити:

"X" - це поточна ринкова ціна акції, а "X * u" і "X * d" - це майбутні ціни на рух вгору і вниз "t" через роки. Коефіцієнт "u" буде більшим, ніж один, оскільки він вказує на рух вгору, а "d" буде лежати між нулем і одиницею. Для вищевказаного прикладу u = 1, 1 і d = 0, 9.

Окупність опціонів виклику - "P _up " та "P _dn " для руху вгору та вниз на момент закінчення.

Якщо ви будуєте портфоліо "s" акцій, придбаних сьогодні, і стискаєте один варіант виклику, то після часу "t":

VUM = s × X × u −Pupwhere: VUM = Значення портфоліо в разі переміщення вгору \ start {align} & \ text {VUM} = s \ times X \ times u - P_ \ text {up} \\ & \ textbf {де:} \\ & \ текст {VUM} = \ текст {Значення портфоліо у разі переміщення вгору} \\ \ кінець {вирівняно} VUM = s × X × u − Pup, де: VUM = Значення портфеля в разі руху вгору

VDM = s × X × d − Вниз: VDM = Значення портфеля у разі руху вниз \ start {вирівнювання} & \ text {VDM} = s \ раз X \ раз d - P_ \ текст {вниз} \\ & \ textbf {де:} \\ & \ текст {VDM} = \ текст {Значення портфоліо у разі руху вниз} \\ \ кінець {вирівняний} VDM = s × X × d − Pdown, де: VDM = Значення портфеля в разі руху вниз

Для аналогічної оцінки в будь-якому випадку зміни ціни:

s × X × u − Pup = s × X × d − Pdowns \ раз X \ раз u - P_ \ текст {up} = s \ раз X \ раз d - P_ \ текст {вниз} s × X × u− Pup = s × X × d − Pdown

s = Pup − PdownX × (u − d) = Кількість акцій, які потрібно придбати для = безризикового портфоліо \ розпочати {вирівняти} s & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {вниз} } {X \ раз (u - d)} \\ & = \ текст {Кількість акцій, які потрібно придбати для} \\ & \ phantom {=} \ текст {безризиковий портфель} \\ \ кінець {вирівняний} s = X × (u − d) Pup −Pdown = Кількість акцій, придбаних за = безризиковий портфель

Майбутня вартість портфеля на кінець "t" років буде:

У разі руху вгору = s × X × u − Pup = Pup − Pdownu − d × u − Pup \ start {вирівнюється} \ текст {У разі руху вгору} & = s \ раз X \ раз u - P_ \ текст {up} \\ & = \ frac {P_ \ текст {up} - P_ \ текст {вниз}} {u - d} \ раз u - P_ \ текст {вгору} \\ \ кінець {вирівняно} У випадку Переміщення вгору = s × X × u − Pup = u − dPup −Pdown × u − Pup

У випадку руху вниз = s × X × d − Pdown = Pup − Pdownu − d × d − Pdown \ start {порівнюється} \ текст {У випадку руху вниз} & = s \ раз X \ раз d - P_ \ текст {вниз} \\ & = \ frac {P_ \ текст {вгору} - P_ \ текст {вниз}} {u - d} \ раз d - P_ \ текст {вниз} \\ \ кінець {вирівняно} У випадку Переміщення вниз = s × X × d − Pdown = u − dPup −Pdown × d − Pdown

Сучасну вартість можна отримати, дисконтуючи її з безризиковою нормою прибутку:

PV = e (−rt) × [Pup − Pdownu − d × u − Pup], де: PV = поточний оцінювач дня = Норма повернення = Час, у роках \ початок {вирівняний} & \ текст {PV} = e (-rt) \ раз \ ліворуч [\ frac {P_ \ текст {вгору} - P_ \ текст {вниз}} {u - d} \ раз u - P_ \ текст {вгору} \ праворуч] \\ & \ textbf { де:} \\ & \ текст {PV} = \ текст {Значення сучасності} \\ & r = \ текст {Норма прибутку} \\ & t = \ текст {Час, у роках} \\ \ кінець {вирівняно} PV = e (−rt) × [u − dPup −Pdown × u − Pup], де: PV = поточний оцінювач дня = коефіцієнт повернення = час, у роках

Це має відповідати холдингу портфеля акцій "s" за ціною X, а коротке значення "c" (сучасне проведення (s * X - c) повинно дорівнювати цьому розрахунку.) Рішення для "c" нарешті дає це як:

Примітка. Якщо премія за виклик скорочена, це має бути доповненням до портфеля, а не відніманням.

c = e (−rt) u − d × [(e (−rt) −d) × Pup + (u − e (−rt)) × Pdown] c = \ frac {e (-rt)} {u - d} \ times [(e (-rt) - d) \ раз P_ \ текст {up} + (u - e (-rt)) \ раз P_ \ текст {вниз}] c = u − de (−rt) × [(e (−rt) −d) × Pup + (u − e (−rt)) × Pdown]

Ще один спосіб написати рівняння - переставити його:

Беручи "q" як:

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (rt) −d

Тоді рівняння стає:

c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Pdown) c = e (-rt) \ times (q \ times P_ \ text {up} + (1 - q) \ times P_ \ текст {вниз}) c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Pdown)

Впорядкування рівняння з точки зору "q" запропонувало нову перспективу.

Тепер ви можете інтерпретувати "q" як ймовірність переміщення вгору нижнього (як "q" асоціюється з P _вгору, а "1-q" асоціюється з P _dn ). Загалом, рівняння являє собою ціну опціону за сьогоднішнім днем, дисконтовану вартість його погашення після закінчення терміну дії.

Це "Q" - різне

Чим ця ймовірність "q" відрізняється від ймовірності руху вгору або вниз нижнього ">

VSP = q × X × u + (1 − q) × X × десь: VSP = Значення ціни акцій за час t \ start {вирівняний} & \ текст {VSP} = q \ раз X \ раз u + (1 - q) \ раз X \ раз d \\ & \ textbf {де:} \\ & \ текст {VSP} = \ текст {Значення ціни акцій за час} t \\ \ кінець {вирівняно} VSP = q × X × u + (1 − q) × X × де: VSP = вартість акцій за час t

Підміняючи значення "q" і переставляючи, ціна акцій в момент "t" доходить до:

Ціна акцій = e (rt) × X \ початок {вирівняний} & \ текст {ціна акцій} = e (rt) \ раз X \\ \ кінець {вирівняно} Ціна акцій = e (rt) × X

У цьому передбачуваному світі двох держав ціна акцій просто зростає безризиковою нормою прибутку, точно так само, як і безризиковий актив, і, отже, залишається незалежною від будь-якого ризику. Інвестори байдуже ставляться до ризику за цією моделлю, тому це являє собою модель, яка не є ризиком.

Ймовірності "q" та "(1-q)" відомі як ймовірності, що нейтральні до ризику, а метод оцінки відомий як модель оцінки ризику, нейтральна.

Приклад сценарію має одну важливу вимогу - структура майбутньої виплати потрібна з точністю (рівень $ 110 та $ 90). У реальному житті така ясність щодо ступеневих рівнів цін неможлива; швидше ціна рухається випадковим чином і може встановлюватися на декількох рівнях.

Щоб розширити приклад далі, припустимо, що можливі двоступінчасті рівні цін. Ми знаємо остаточні виплати другого кроку і нам потрібно оцінити варіант сьогодні (на початковому кроці):

Працюючи назад, проміжне оцінювання першого кроку (при t = 1) можна здійснити, використовуючи остаточні виплати на другому кроці (t = 2), потім використовуючи обчислену оцінку першого кроку (t = 1), сучасну оцінку (t = 0) можна досягти за допомогою цих розрахунків.

Щоб отримати цінові опціони під номером два, використовуються виплати в чотири та п'ять. Для отримання ціни на номер три використовуються виплати в п'ять і шість. Нарешті, розраховані виплати в два та три використовуються для отримання цін на номер один.

Зверніть увагу, що цей приклад передбачає однаковий коефіцієнт для переміщення вгору (і вниз) на обох кроках - u і d застосовуються складно.

Робочий приклад

Припустимо, опція пут із ціною страйку в 110 доларів в даний час торгується на рівні 100 доларів і закінчується через рік. Щорічна безризикова ставка становить 5%. Очікується, що ціна зросте на 20% і знизиться на 15% кожні півроку.

Тут u = 1, 2 і d = 0, 85, x = 100, t = 0, 5

використовуючи вищевикладену формулу

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (rt) −d

отримаємо q = 0, 35802832

значення опції put у точці 2,

p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) де: p = Ціна опції put \ start {порівнюється} & p_2 = e (-rt) \ раз (p \ разів P_ \ текст {upup} + (1 - q) P_ \ text {updn}) \\ & \ textbf {де:} \\ & p = \ текст {Ціна опції put} \\ \ end {вирівнюється} p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) де: p = Ціна опції put

За умови _{резервного копіювання} базовим буде = 100 * 1, 2 * 1, 2 = $ 144, що веде до P _upup = нуль

При _умові P _updn базовим буде = 100 * 1, 2 * 0, 85 = 102 $, що веде до P _updn = 8 $

При _умові P _dndn базовим буде = 100 * 0, 85 * 0, 85 = $ 72, 25, що веде до P _dndn = $ 37, 75

p ₂ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 0 + (1-0, 35802832) * 8) = 5, 008970741

Аналогічно, p ₃ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 8 + (1-0, 35802832) * 37, 75) = 26, 42958924

p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1 − q) p3) p_1 = e (-rt) \ раз (q \ раз p_2 + (1 - q) p_3) p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1 − q) p3)

Звідси і значення опції put, p ₁ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 5, 008970741 + (1-0, 35802832) * 26, 42958924) = 18, 29 дол.

Аналогічно, біноміальні моделі дозволяють розбити всю тривалість опціону для подальшого вдосконалення декількох етапів та рівнів. Використовуючи комп’ютерні програми або електронні таблиці, ви можете одразу робити крок назад, щоб отримати теперішнє значення потрібної опції.

Ще один приклад

Припустимо, опція поставлення європейського типу із закінченням дев'яти місяців, страйкова ціна 12 доларів та поточна базова ціна - 10 доларів. Припустимо безризикову ставку 5% за всі періоди. Припустимо, кожні три місяці базова ціна може змінюватися на 20% вгору або вниз, що дає нам u = 1, 2, d = 0, 8, t = 0, 25 і триступеневе двочленне дерево.

Червоний колір вказує на основні ціни, а синій - на користь розміщених опцій.

Небезпечна ймовірність "q" обчислює до 0, 531446.

Використовуючи наведене вище значення "q" та значення окупності при t = дев'ять місяців, відповідні значення при t = шість місяців обчислюються як:

Далі, використовуючи ці обчислені значення при t = 6, значення при t = 3, а при t = 0, є:

Це дає сьогоднішню вартість пут-опціону в розмірі 2, 18 дол. США, що досить близьке до того, що ви могли б зробити для обчислень за допомогою моделі Black-Scholes (2, 30 долара).

Суть

Хоча використання комп’ютерних програм може спростити ці інтенсивні розрахунки, прогнозування майбутніх цін залишається головним обмеженням біноміальних моделей щодо опціонного ціноутворення. Чим точніші інтервали часу, тим складніше прогнозувати виплати в кінці кожного періоду з високою точністю.

Однак, гнучкість до включення змін, що очікуються в різні періоди, є плюсом, що робить його придатним для ціноутворення американських опціонів, включаючи оцінки на ранній основі.

Значення, обчислені за допомогою біноміальної моделі, тісно відповідають значенням, обчисленим з інших часто використовуваних моделей, таких як Black-Scholes, що вказує на корисність та точність біноміальних моделей для ціноутворення опціону. Моделі біноміального ціноутворення можуть бути розроблені відповідно до уподобань торговця і можуть працювати як альтернатива Black-Scholes.