Використання загальних методів розподілу ймовірності запасів

Майже незалежно від вашої думки щодо передбачуваності чи ефективності ринків, ви, мабуть, погоджуєтесь, що для більшості активів гарантована віддача є невизначеною або ризикованою. Якщо ми ігноруємо математику, яка лежить в основі розподілу ймовірностей, ми можемо побачити, що вони є зображеннями, що описують певний погляд на невизначеність. Розподіл ймовірностей - це статистичний розрахунок, який описує ймовірність того, що дана змінна потрапить між або в межах певного діапазону на графіку графіків.

Невизначеність відноситься до випадковості. Він відрізняється відсутністю передбачуваності або неефективністю ринку. Позиція, що склалася, свідчить про те, що фінансові ринки є непевними та передбачуваними. Також ринки можуть бути ефективними, але також невизначеними.

У фінансах ми використовуємо розподіли ймовірностей для малювання зображень, які ілюструють наш погляд на чутливість доходу активів, коли ми думаємо, що дохідність активів може вважатися випадковою змінною. У цій статті ми розглянемо кілька найпопулярніших розподілів ймовірностей та покажемо, як їх обчислити.

Розподіли можна класифікувати як дискретні або безперервні, і за тим, чи це функція щільності ймовірності (PDF), або кумулятивний розподіл.

Дискретне проти неперервного розподілу

Дискретна посилається на випадкову змінну, виведену з кінцевого набору можливих результатів. Наприклад, шестигранна штамповка має шість дискретних результатів. Безперервне розподіл відноситься до випадкової величини, виведеної з нескінченного набору. Приклади безперервних випадкових змінних включають швидкість, відстань та деяку віддачу активів. Дискретна випадкова величина проілюстрована, як правило, крапками або тиреми, тоді як суцільна змінна ілюстрована суцільною лінією. На малюнку 1 показані дискретні та безперервні розподіли для нормального розподілу із середнім (очікуваним значенням) 50 та стандартним відхиленням 10:

Фігура 1

Розподіл - це спроба графіку невизначеності. У цьому випадку результат 50 найімовірніший, але відбудеться лише 4% часу; результат 40 - це одне стандартне відхилення нижче середнього, і воно відбудеться трохи менше 2, 5% часу.

Щільність ймовірності проти кумулятивного розподілу

Інша відмінність полягає між функцією щільності ймовірності (PDF) та функцією кумулятивного розподілу. PDF - це ймовірність того, що наша випадкова величина досягне певного значення (або у випадку безперервної змінної - падіння між інтервалом). Покажемо, що, вказуючи ймовірність того, що випадкова величина X дорівнює фактичному значенню x:

P [x = X] \ початок {вирівняний} & P [x = X] \\ \ кінець {вирівняний} P [x = X]

Кумулятивний розподіл - це ймовірність того, що випадкова величина X буде меншою або дорівнює фактичному значенню x:

P [x <= X] \ початок {вирівняний} & P [x <= X] \\ \ кінець {вирівняний} P [x <= X]

або, наприклад, якщо ваш зріст є випадковою змінною із очікуваним значенням 5'10 "дюймів (середній зріст ваших батьків), то PDF-запитання:" Яка ймовірність того, що ви досягнете висоти 5'4 "" >

На малюнку 1 показано два нормальних розподілу. Тепер ви можете бачити, що це графіки функції щільності ймовірності (PDF). Якщо ми повторно побудуємо той самий розподіл, що і кумулятивний розподіл, отримаємо наступне:

Малюнок 2

Кумулятивний розподіл повинен з часом досягти 1, 0 або 100% на осі y. Якщо ми піднімемо планку досить високо, то в якийсь момент практично всі результати потраплять під цю планку (можна сказати, що розподіл зазвичай асимптотичний до 1, 0).

Фінанси, соціальна наука, не такі чисті, як фізичні науки. Гравітація, наприклад, має елегантну формулу, від якої ми можемо залежати раз і знову. З іншого боку, прибуток фінансових активів не може бути повторений настільки послідовно. Похитну суму грошей втратили роками розумні люди, які плутали точні розподіли (тобто, ніби похідні від фізичних наук), з брудними, ненадійними наближеннями, які намагаються зобразити фінансові прибутки. У фінансах розподіл ймовірностей трохи більше, ніж грубих зображувальних уявлень.

Рівномірний розподіл

Найпростіший і найпопулярніший розподіл - це рівномірний розподіл, при якому всі результати мають однаковий шанс настання. Шестигранна плашка має рівномірний розподіл. Кожен результат має ймовірність приблизно 16, 67% (1/6). У нашому сюжеті нижче показана суцільна лінія (щоб ви могли бачити це краще), але майте на увазі, що це дискретний розподіл - ви не можете прокрутити 2.5 або 2.11:

Малюнок 3

Тепер розкачайте дві кістки разом, як показано на малюнку 4, і розподіл вже не рівномірний. Він досягає піку в сім, що має шанс 16, 67%. У цьому випадку всі інші результати є менш імовірними:

Малюнок 4

Тепер розкачайте три кубики разом, як показано на малюнку 5. Починаємо бачити ефекти найдивовижнішої теореми: центральної граничної теореми. Центральна гранична теорема сміливо обіцяє, що сума або середнє значення ряду незалежних змінних, як правило, стане нормально розподіленим, незалежно від їх власного розподілу . Наші кістки індивідуально рівномірні, але поєднуючи їх і - оскільки ми додаємо більше кісток - майже магічно їх сума буде спрямована на звичне нормальне розподіл.

Малюнок 5

Біноміальний розподіл

Біноміальний розподіл відображає серію випробувань "або / або", таких як серія кидок монети. Вони називаються випробуваннями Бернуллі - які стосуються подій, які мають лише два результати - але вам не потрібні рівні (50/50) шанси. Біноміальне розподіл нижче накреслює серію з 10 монетних кидок, де ймовірність головки становить 50% (p-0, 5). На малюнку 6 видно, що шанс перевернути рівно п'ять голів та п'ять хвостів (порядок не має значення) просто сором'язливий на 25%:

Малюнок 6

Якщо біноміальний розподіл для вас виглядає нормально, ви з цим правильні. Зі збільшенням кількості випробувань біноміал має тенденцію до нормального розподілу.

Лонормальний розподіл

Лонормальний розподіл дуже важливий у фінансах, оскільки багато найпопулярніших моделей припускають, що ціни на акції розподіляються ненормально. Легко плутати дохідність активів з рівнем цін.

Часто повернення активів трактується як звичайне - запас може піднятися на 10% або знизитись на 10%. Рівень цін часто трактується як логічний - акції з 10 доларів можуть піднятися до 30 доларів, але вони не можуть знизитися до - 10 доларів. Лонормальний розподіл не нульовий і перекошений вправо (знову ж таки, запас не може опуститися нижче нуля, але він не має теоретичного підвищення межі):

Малюнок 7

Пуассон

Розподіл Пуассона використовується для опису шансів певної події (наприклад, щоденна втрата портфеля нижче 5%), що відбувається протягом певного інтервалу часу. Отже, у наведеному нижче прикладі ми припускаємо, що деякий операційний процес має рівень помилок 3%. Далі ми припускаємо 100 випадкових випробувань; розподіл Пуассона описує ймовірність отримання певної кількості помилок за певний проміжок часу, наприклад, за один день.

Малюнок 8

Студентська Т

Т-розподіл студента також дуже популярний, оскільки має трохи «товстіший хвіст», ніж звичайний розподіл. Т-студент використовується зазвичай, коли розмір вибірки невеликий (тобто менше 30). У фінансах лівий хвіст представляє збитки. Тому, якщо розмір вибірки невеликий, ми сміємо недооцінювати шанси на велику втрату. Тут нам допоможе товстіший хвіст на Т-студенті. Тим не менш, трапляється, що жирний хвіст цього розподілу часто недостатньо жирний. Фінансові прибутки, як правило, виявляють, за рідкісних катастрофічних випадків, справді втрати в жировій хвості (тобто жирніше, ніж передбачено розподілами). Великі суми грошей були втрачені, зважаючи на це.

Малюнок 9

Бета-розподіл

Нарешті, бета-розподіл (не плутати з бета-параметром у моделі ціноутворення капітальних активів) користується популярністю у моделях, що оцінюють коефіцієнти відновлення на портфелях облігацій. Бета-розподіл - це утилітний плеєр дистрибутивів. Як і у звичайних, йому потрібні лише два параметри (альфа та бета), але їх можна комбінувати для надзвичайної гнучкості. На малюнку 10 нижче показано чотири можливі бета-розподіли:

Малюнок 10

Суть

Як і стільки взуття в нашому статистичному шафі для взуття, ми намагаємось вибрати найкращий варіант для цього випадку, але ми не знаємо, на що нас погода. Ми можемо вибрати нормальний розподіл, тоді дізнаємось, що це недооцінені ліві хвостові втрати; тому ми переходимо до перекошеного розподілу, лише щоб знайти дані, які виглядають більш "нормальними" в наступному періоді. Елегантна математика під нею може спокусити вас думати, що ці розподіли відкривають глибшу істину, але більш імовірно, що це просто людські артефакти. Наприклад, всі розглянуті нами дистрибуції є досить плавними, але деякі прибутки активів стрибко скачуються.

Нормальний розподіл є всюдисущим і елегантним, і він вимагає лише двох параметрів (середнього та розподільного). Багато інших розподілів сходяться до нормальних (наприклад, двочлен і Пуассон). Однак багато ситуацій, такі як дохідність хедж-фондів, кредитні портфелі та серйозні події збитків, не заслуговують нормального розподілу.