Дослідження косого середнього значення в експоненційному масштабі

Нестабільність - це найпоширеніший показник ризику, але він має декілька ароматів. У попередній статті ми показали, як обчислити просту історичну мінливість. У цій статті ми покращимо просту мінливість та обговоримо експоненціально зважену ковзну середню (EWMA).

Історична протипоточна мінливість

Спочатку давайте поставимо цю метрику трохи в перспективу. Існує два широких підходи: історична та неявна (або неявна) мінливість. Історичний підхід передбачає, що минуле - це пролог; ми вимірюємо історію з надією, що вона є прогностичною. З іншого боку, прихована мінливість ігнорує історію; він вирішує нестабільність, що має на увазі ринкові ціни. Він сподівається, що ринок знає найкраще і що ринкова ціна містить, навіть якщо неявно, консенсусну оцінку волатильності.

Якщо ми зосередимось лише на трьох історичних підходах (зліва вгорі), вони мають два кроки спільного:

1. Обчисліть ряд періодичних повернень
2. Застосовуйте схему зважування

Спочатку обчислюємо періодичну віддачу. Це, як правило, серія щоденних повернень, де кожна віддача виражається у безперервно складених термінах. За кожен день ми беремо природний журнал співвідношення цін акцій (тобто ціна сьогодні, поділена на ціну вчора тощо).

ui = lnsisi − 1where: ui = прибуток на день isi = ціна акцій на день isi − 1 = ціна акцій за день до дня я \ почнемо {вирівняно} & u_i = ln \ frac {s_i} {s_ {i - 1}} \\ & \ textbf {де:} \\ & u_i = \ текст {повернення в день} i \\ & s_i = \ текст {ціна акцій в день} i \\ & s_ {i - 1} = \ текст {ціна акцій в день до дня} i \\ \ кінець {вирівняний} ui = lnsi − 1 si де: ui = повернення на день isi = ціна акцій на день isi − 1 = ціна акцій за день до дня i Нямецкімі мовамі

Це дає ряд щоденних доходів, від u _i до _{im im}, залежно від того, скільки днів (m = днів) ми вимірюємо.

Це приводить нас до другого кроку: тут розрізняються три підходи. У попередній статті ми показали, що за парами прийнятних спрощень проста дисперсія - це середнє значення повернень у квадраті:

варіація = σn2 = 1mΣi = 1mun − 12, де: m = кількість виміряних днівn = dayiu = різниця повернення від середньої віддачі \ початок {вирівняний} & \ текст {варіація} = \ sigma ^ 2_n = \ frac {1} { m} \ Sigma ^ m_ {i = 1} u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {де:} \\ & m = \ текст {кількість виміряних днів} \\ & n = \ текст {день} i \\ & u = \ текст {різниця повернення від середнього повернення} \\ \ кінець {вирівняний} дисперсія = σn2 = m1 Σi = 1m un − 12, де: m = кількість днів, вимірянихn = dayiu = різниця повернення від середньої віддачі

Зауважте, що це підсумовує кожну періодичну віддачу, а потім ділить цю загальну кількість на кількість днів або спостережень (м). Отже, це насправді лише середнє значення періодичного повернення у квадраті. По-іншому, кожному поверненню в квадраті надається однакова вага. Отже, якщо альфа (а) є коефіцієнтом зважування (конкретно, a = 1 / м), то проста дисперсія виглядає приблизно так:

EWMA покращується за допомогою простої варіації
Слабкість цього підходу полягає в тому, що всі прибутки заробляють однакову вагу. Вчорашня (дуже недавня) віддача не має більшого впливу на дисперсію, ніж повернення минулого місяця. Ця проблема вирішується за допомогою експоненціально зваженої середньої ковзної середньої величини (EWMA), в якій новіші повернення мають більшу вагу відхилення.

Експоненціально зважена ковзна середня величина (EWMA) вводить лямбда, що називається параметром згладжування. Лямбда повинна бути менше одиниці. За цієї умови замість рівних ваг кожне повернення в квадраті зважується множником наступним чином:

Наприклад, RiskMetrics ^TM _, компанія з управління фінансовими ризиками, як правило, використовує лямбда 0, 94, або 94%. У цьому випадку перше (найновіше) квадратне періодичне повернення зважується на (1-0, 94) (. 94) ⁰ = 6%. Наступне повернення в квадрат - це просто лямбда-кратна попередня вага; у цьому випадку 6% помножено на 94% = 5, 64%. А вага третього попереднього дня дорівнює (1-0, 94) (0, 94) ² = 5, 30%.

Це значення "експоненціалу" в EWMA: кожна вага - це постійний множник (тобто лямбда, який повинен бути меншим, ніж один) ваги попереднього дня. Це забезпечує відхилення, зважене або упереджене відносно новіших даних. Різниця між простою мінливістю та системою EWMA для Google наведена нижче.

Проста мінливість ефективно зважує кожну періодичну віддачу на 0, 196%, як показано у колонці O (у нас було два роки щоденних даних про ціни на акції. Це 509 щоденних доходів і 1/509 = 0, 196%). Але зауважте, що стовпець P призначає вагу 6%, потім 5, 64%, потім 5, 3% тощо. Це єдина відмінність між простою дисперсією та EWMA.

Пам’ятайте: після підсумовування всього ряду (у стовпці Q) у нас з’являється дисперсія, яка є квадратом стандартного відхилення. Якщо ми хочемо мінливості, нам потрібно пам'ятати, щоб взяти квадратний корінь цієї дисперсії.

Яка різниця у щоденній мінливості між дисперсією та EWMA у випадку Google ">

Варіантність сьогодні є функцією варіації попереднього дня

Ви помітите, що нам потрібно було обчислити довгу серію експоненціально зменшуваних ваг. Ми не будемо робити математику тут, але одна з найкращих особливостей EWMA полягає в тому, що вся серія зручно зводиться до рекурсивної формули:

σn2 (ewma) = λσn2 + (1 − λ) un − 12, де: λ = ступінь зменшення зважуванняσ2 = значення в період nu2 = значення EWMA в період n \ start {узгоджується} & \ sigma ^ 2_n (ewma) = \ лямбда \ сигма ^ 2_ {n} + (1 - \ лямбда) u ^ 2_ {п - 1} \\ & \ textbf {де:} \\ & \ лямбда = \ текст {ступінь зменшення ваги} \ \ & \ sigma ^ 2 = \ текст {значення в період часу} n \\ & u ^ 2 = \ текст {значення EWMA в період часу} n \\ \ кінець {вирівняно} σn2 (ewma) = λσn2 + (1 − λ) un − 12, де: λ = ступінь зменшення зважуванняσ2 = значення в періоді часу nu2 = значення EWMA в період n

Рекурсивний означає, що сьогоднішні посилання на дисперсію (тобто є функцією дисперсії попереднього дня). Ви також можете знайти цю формулу в електронній таблиці, і вона дає точно такий же результат, як і обчислення від руки! У ньому йдеться: сьогоднішня дисперсія (за EWMA) дорівнює вчорашній дисперсії (зваженій лямбда) плюс вчорашній прибуток у квадраті (зважена одним мінусом лямбда). Зверніть увагу, як ми лише додаємо два терміни разом: зважена відхилення вчорашнього дня та вчорашня зважена квадратна віддача.

Незважаючи на це, лямбда - наш параметр згладжування. Більш висока лямбда (наприклад, як 94% RiskMetric) вказує на повільніше занепад у серії - відносно, у нас буде більше точок даних у серії, і вони будуть «падати» повільніше. З іншого боку, якщо зменшити лямбда, ми позначаємо більш високий занепад: ваги швидше падають і, як прямий результат швидкого розпаду, використовується менше точок даних. (У електронній таблиці лямбда - це вхід, тому ви можете експериментувати з її чутливістю).

Підсумок
Нестабільність - це миттєве стандартне відхилення запасу і найпоширеніший показник ризику. Це також квадратний корінь дисперсії. Ми можемо вимірювати дисперсію історично чи неявно (мається на увазі мінливість). При історичному вимірюванні найпростіший метод - це проста дисперсія. Але слабкість при простому відхиленні полягає в тому, що всі прибутки отримують однакову вагу. Таким чином, ми стикаємося з класичним компромісом: ми завжди хочемо більше даних, але чим більше даних у нас, тим більше наш розрахунок розбавляється віддаленими (менш релевантними) даними. Експоненціально зважена ковзаюча середня величина (EWMA) покращується на простій дисперсії, присвоюючи ваги періодичним показникам. Роблячи це, ми можемо використовувати як великий розмір вибірки, але також надавати більшу вагу більш пізнім прибуткам.