Як використовувати моделювання Монте-Карло з ГБМ

Одним з найпоширеніших способів оцінки ризику є використання моделювання Монте-Карло (MCS). Наприклад, для обчислення величини ризику (VaR) портфеля, ми можемо запустити моделювання Монте-Карло, яке намагається передбачити найгірший ймовірний збиток для портфеля з урахуванням інтервалу довіри протягом визначеного часового горизонту (нам завжди потрібно вказати два умови для VaR: впевненість і горизонт).

У цій статті ми розглянемо основні MCS, застосовані до ціни акцій, використовуючи одну з найпоширеніших моделей у фінансах: геометричний броунівський рух (GBM). Тому, хоча моделювання в Монте-Карло може стосуватися всесвіту різних підходів до моделювання, ми розпочнемо тут із самого основного.

З чого почати

Моделювання в Монте-Карло - це спроба багато разів передбачити майбутнє. Наприкінці моделювання тисячі чи мільйони «випадкових випробувань» дають розподіл результатів, які можна проаналізувати. Основні етапи:

1. Вкажіть модель (наприклад, GBM)

Для цієї статті ми будемо використовувати геометричний броунівський рух (ГБМ), який технічно є марковським процесом. Це означає, що ціна акцій слідує за випадковим кроком і відповідає (принаймні) слабкій формі гіпотези ефективного ринку (EMH) - інформація про ціну вже включена, а наступний рух цін "умовно незалежний" минулі зміни цін.

Формула ГБМ наведена нижче:

Де:

• S = ціна акцій
• Δ S = Зміна ціни на акції
• μ = Очікувана віддача
• σ = Стандартне відхилення віддачі
• ϵ = Випадкова величина
• Δ t = пройдений період часу

Якщо ми переставляємо формулу для вирішення лише для зміни ціни на акції, ми бачимо, що ГБМ каже, що зміна ціни на акції - це ціна акцій "S", помножена на два терміни, знайдені в дужках нижче:

Перший термін - "дрейф", а другий термін - "шок". За кожний проміжок часу наша модель передбачає, що ціна "зросте" до очікуваного прибутку. Але дрейф буде шокований (доданий або віднятий) випадковим шоком. Випадковим шоком буде стандартне відхилення "s", помножене на випадкове число "e". Це просто спосіб масштабування стандартного відхилення.

У цьому полягає суть ГБМ, як проілюстровано на малюнку 1. Ціна акцій проводиться за послідовними кроками, де кожен крок є дрейфом плюс або мінус випадковим шоком (сам по собі функція стандартного відхилення акції):

Фігура 1

2. Створюйте випадкові випробування

Озброївшись специфікацією моделі, ми продовжуємо виконувати випадкові випробування. Для ілюстрації ми використовували Microsoft Excel для проведення 40 випробувань. Майте на увазі, що це нереально малий зразок; більшість симуляцій або "сим" проводять щонайменше кілька тисяч випробувань.

У цьому випадку припустимо, що акція починається з нуля дня ціною 10 доларів. Ось діаграма результатів, коли кожен крок (або інтервал) становить один день, а серія триває десять днів (підсумовуючи: сорок випробувань із щоденними кроками протягом десяти днів):

Малюнок 2: Геометричний броунівський рух

Результат - сорок модельованих цін на акції наприкінці 10 днів. Жоден не впав нижче 9 доларів, а один вище 11 доларів.

3. Обробіть результат

Моделювання призвело до розподілу гіпотетичних майбутніх результатів. Ми могли зробити кілька речей із результатом.

Якщо, наприклад, ми хочемо оцінити VaR з 95% впевненістю, тоді нам потрібно знайти лише результат тридцять восьмого рейтингу (третій найгірший результат). Це тому, що 2/40 дорівнює 5%, тож два найгірші результати - у найнижчих 5%.

Якщо ми розмістимо проілюстровані результати в бункери (кожен контейнер становить третину від 1 долара, тому три бункери охоплюють інтервал від 9 до 10 доларів), ми отримаємо наступну гістограму:

Малюнок 3

Пам'ятайте, що наша модель GBM передбачає нормальність; цінова декларація зазвичай розподіляється з очікуваною віддачею (середньою) "m" та стандартним відхиленням "s". Цікаво, що наша гістограма не виглядає нормально. Насправді, при більшій кількості випробувань це не буде прагнути до нормальності. Натомість вона буде схильна до лонормального розподілу: різке падіння ліворуч від середнього і сильно косий "довгий хвіст" праворуч від середнього.

Це часто призводить до потенційно заплутаної динаміки для студентів-початківців:

• Прибуткові ціни зазвичай розподіляються.
• Рівні цін зазвичай розподіляються в журналі.

Подумайте про це так: запас може повернутись вгору або вниз на 5% або 10%, але через певний проміжок часу ціна акцій не може бути негативною. Крім того, зростання цін на ногу має ефект ущільнення, тоді як зниження цін у бік зниження знижує базу: втрачайте 10%, і ви наступного разу втрачаєте менше.

Ось діаграма лонормального розподілу, накладена на наші проілюстровані припущення (наприклад, початкова ціна 10 доларів):

Малюнок 4

Суть

Симуляція Монте-Карло застосовує обрану модель (яка визначає поведінку інструменту) до великого набору випадкових випробувань, намагаючись створити правдоподібний набір можливих майбутніх результатів. Що стосується моделювання цін на акції, то найпоширенішою моделлю є геометричний броунівський рух (ГБМ). ГБМ передбачає, що постійний дрейф супроводжується випадковими потрясіннями. У той час як періодичні доходи за ГБМ зазвичай розподіляються, відповідно багаторічний (наприклад, десять днів) рівень цін розподіляється ненормально.