Визначення теореми Байєса
Теорема Байєса, названа на честь британського математика 18 століття Томаса Байєса, є математичною формулою для визначення умовної ймовірності. Теорема дає спосіб переглянути існуючі прогнози або теорії (оновлення ймовірностей), отримавши нові або додаткові докази. У галузі фінансів теорему Байєса можна використовувати для оцінки ризику позики грошей потенційним позичальникам.
Теорему Байєса також називають правилом Байєса або законом Байєса і є основою галузі байєсівської статистики.
Ключові вивезення
- Теорема Байєса дозволяє оновлювати передбачувані ймовірності події шляхом включення нової інформації.
- Теорема Байєса була названа на честь математика 18 століття Томаса Байєса.
- Його часто використовують у фінансах для оновлення оцінки ризиків.
Формула теореми Байєса є
P (A∣B) = P (A⋂B) P (B) = P (A) ⋅P (B∣A) P (B), де: P (A) = ймовірність виникнення A (B) = Імовірність виникнення BP (A∣B) = Ймовірність A заданої ВР (B∣A) = Ймовірність B заданого AP (A⋂B)) = Ймовірність виникнення A і B \ почнеться \ порівнювати} & P \ ліворуч (A | B \ справа) = \ frac {P \ ліворуч (A \ bigcap {B} \ праворуч)} {P \ ліворуч (B \ праворуч)} = \ frac {P \ ліворуч (A \ праворуч) \ cdotP \ зліва (B} {P \ ліворуч (B \ праворуч)} \\ & \ textbf {де:} \\ & P \ зліва (A \ праворуч) = \ текст {Ймовірність виникнення A}} \\ & P \ зліва (B \ право) = \ текст {Ймовірність виникнення B} \\ & P \ ліворуч (A | B \ праворуч) = \ текст {Ймовірність A заданої B} \\ & P \ зліва (B | A \ праворуч) = \ текст {Ймовірність B задано A} \\ & P \ ліворуч (A \ bigcap {B} \ праворуч)) = \ текст {Імовірність виникнення A і B} \\ \ end {вирівняний} P ( A∣B) = P (B) P (A⋂B) = P (B) P (A) ⋅P (B∣A), де: P (A) = ймовірність виникнення A (B) = ймовірність виникнення BP (A∣B) = ймовірність A заданої ВР (B∣A) = Ймовірність B заданого AP (A⋂B)) = Ймовірність виникнення A і B
Пояснена теорема Байєса
Застосування теореми широко поширене і не обмежується фінансовою сферою. Як приклад, теорема Байєса може бути використана для визначення точності результатів медичних випробувань, беручи до уваги, наскільки вірогідною є будь-яка людина, хвороба та загальна точність тесту. Теорема Байєса спирається на включення попередніх розподілів ймовірностей, щоб генерувати задні ймовірності. Попередня ймовірність, згідно з байєсівським статистичним висновком, - це ймовірність події до збору нових даних. Це найкраща раціональна оцінка ймовірності результату на основі поточних знань перед проведенням експерименту. Задня ймовірність - це переглянута ймовірність події, що відбулася після врахування нової інформації. Задня ймовірність обчислюється шляхом оновлення попередньої ймовірності за допомогою теореми Байєса. У статистичному відношенні задня ймовірність - це ймовірність події А, яка відбудеться, враховуючи, що відбулася подія В.
Таким чином, теорема Байєса дає ймовірність події на основі нової інформації, яка пов'язана або може бути пов'язана з цією подією. Формула також може бути використана для того, щоб побачити, як на ймовірність виникнення події впливає нова гіпотетична інформація, якщо припустити, що нова інформація виявиться правдивою. Наприклад, скажімо, що одна картка складається з цілої колоди з 52 карт. Імовірність того, що карта є королем, дорівнює 4, поділеній на 52, що дорівнює 1/13 або приблизно 7, 69%. Пам’ятайте, що на палубі є 4 королі. Тепер, припустимо, виявлено, що вибрана карта є обличчям. Ймовірність, що вибрана карта є королем, враховуючи, що це особа, дорівнює 4, поділеній на 12, або приблизно 33, 3%, оскільки в колоді є 12 лицьових карт.
Виведення формули теореми Байеса з прикладом
Теорема Байєса випливає просто з аксіом умовної ймовірності. Умовна ймовірність - це ймовірність події, враховуючи, що сталася інша подія. Наприклад, просте питання щодо ймовірності може запитати: "Яка ймовірність падіння ціни акцій Amazon.com, Inc., (NYSE: AMZN)?" Умовна ймовірність робить це питання на крок далі, запитуючи: "Яка ймовірність падіння ціни акцій AMZN, враховуючи, що індекс Dow Jones Industrial Average (DJIA) впав раніше?"
Умовна ймовірність A з урахуванням того, що B сталося, може бути виражена як:
Якщо A дорівнює "ціна AMZN", то P (AMZN) - це ймовірність падіння AMZN; а B: "DJIA вже зникла", а P (DJIA) - це ймовірність того, що DJIA впала; тоді вираз умовної ймовірності звучить як "ймовірність того, що AMZN падає при зниженні DJIA, дорівнює ймовірності зниження цін AMZN, а DJIA зменшується над ймовірністю зниження індексу DJIA.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN і DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN та DJIA) - це ймовірність виникнення A і B. Це також те саме, що ймовірність виникнення A помножена на ймовірність того, що B виникає, враховуючи, що випадки виникнення A, виражені P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). Той факт, що ці два вирази рівні, призводить до теореми Байєса, яка записується як:
якщо P (AMZN і DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
тоді P (AMZN | DJIA) = [P (AMZN) x P (DJIA | AMZN)] / P (DJIA).
Де P (AMZN) і P (DJIA) - це ймовірність падіння Амазонки та Дау-Джонса, не враховуючи один одного.
Формула пояснює взаємозв’язок між ймовірністю гіпотези перед тим, як побачити докази того, що P (AMZN), та ймовірністю гіпотези після отримання доказів P (AMZN | DJIA), з урахуванням гіпотези щодо Amazon, що дав докази в Доу.
Числовий приклад теореми Байєса
Як числовий приклад, уявіть, що існує тест на наркотики, який є 98% точним, тобто 98% часу він показує справжній позитивний результат для тих, хто вживає наркотик, і 98% часу показує справжній негативний результат для нежитців препарат. Далі, припустимо, 0, 5% людей вживають препарат. Якщо людина вибрала випадковими тестами позитивні для препарату, можна зробити наступний розрахунок, щоб побачити, чи є ймовірність того, що людина насправді є користувачем наркотику.
(0, 98 х 0, 005) / [(0, 98 х 0, 005) + ((1 - 0, 98) х (1 - 0, 005))] = 0, 0049 / (0, 0049 + 0, 0199) = 19, 76%
Теорема Байєса показує, що навіть якщо людина випробувала позитивний результат у цьому сценарії, це насправді набагато більше шансів, що людина не є користувачем наркотиків.
Порівняйте інвестиційні рахунки Ім’я постачальника Опис Розкриття рекламодавця × Пропозиції, що з’являються в цій таблиці, є партнерствами, від яких Investopedia отримує компенсацію.