Безперервні сукупні відсотки

Складні відсотки - це відсотки, що розраховуються за первісною основною сумою, а також за накопиченими відсотками попередніх періодів депозиту чи позики. Ефект складного інтересу залежить від частоти.

Припустимо, щорічна процентна ставка становить 12%. Якщо ми розпочнемо рік зі 100 доларів, а складні лише один раз, то в кінці року основна сума зростає до 112 доларів (100 доларів США х 1, 12 = 112 доларів). Якщо ми замість цього місяця складемо 1%, у кінці року ми отримаємо понад 112 доларів. Тобто $ 100 x 1, 01 ^ 12 при $ 112, 68. (Це вище, тому що ми збираємося частіше.)

Безперервно складена повертає з'єднання найчастіше з усіх. Безперервне складання є математичною межею, до якої може досягти складний інтерес. Це надзвичайний випадок ускладнення, оскільки більшість відсотків нараховується щомісяця, щокварталу чи півроку.

Піврічні норми прибутку

Спочатку розглянемо потенційно заплутану умову. На ринку облігацій ми маємо на увазі прибутковість (еквівалентну облігацію). Це означає, що якщо облігація приносить 6% на піврічну основу, її еквівалентна облігація становить 12%.

Фігура 1

Піврічна врожайність просто подвоюється. Це потенційно заплутано, оскільки ефективний вихід 12% -ного еквівалентного облігаційного доходу становить 12, 36% (тобто 1, 06 ^ 2 = 1, 1236). Подвоєння піврічної дохідності - це лише конвенція про іменування облігацій. Отже, якщо ми читаємо про 8% облігацій, складених півроку, то припускаємо, що це стосується 4% піврічної дохідності.

Щоквартальні, місячні та щоденні норми прибутку

Тепер обговоримо більш високі частоти. Ми все ще припускаємо 12% річної ринкової процентної ставки. Відповідно до конвенцій про іменування облігацій, це означає 6-відсоткову ставку на піврічну складову. Тепер ми можемо виразити квартальну складну ставку як функцію ринкової процентної ставки.

Малюнок 2

З огляду на річну ринкову ставку ( r), щоквартальна складова ставка ( r _q ) задається:

Так, для нашого прикладу, коли річна ринкова ставка становить 12%, квартальна складова ставка становить 11, 825%:

Малюнок 3

Аналогічна логіка стосується щомісячного складання. Щомісячна складова ставка ( r _m ) наведена тут як функція річної ринкової процентної ставки ( r):

Добова складна ставка ( d) як функція ринкової процентної ставки ( r) задається:

Як працює безперервне складання

Малюнок 4

Якщо ми збільшимо частоту з'єднання до її межі, ми постійно з'єднуємося. Незважаючи на те, що це не є практичним, постійно зростаюча процентна ставка пропонує надзвичайно зручні властивості. Виявляється, що безперервно складена процентна ставка задається:

Ln () - це природний журнал, і в нашому прикладі безперервно складеною швидкістю є:

Ми дістаємось до того самого місця, приймаючи природний лог цього співвідношення: кінцеве значення, розділене на початкове значення.

Останнє є загальним при обчисленні безперервно складеної віддачі для запасу. Наприклад, якщо запас стрибає з 10 доларів на один день до 11 доларів на наступний день, безперервно щоденно повертається щоденне повернення:

Що настільки чудово в безперервно складеній швидкості (або поверненні), що ми позначатимемо r _c ">

Зауважимо, що e - експоненціальна функція. Наприклад, якщо ми починаємо з 100 доларів США і постійно триває 8% протягом трьох років, остаточне багатство дає:

Дисконтування до теперішньої величини (PV) - це просто зворотне сполучення, тому теперішнє значення майбутньої величини (F), що складається безперервно, зі швидкістю ( r _c ) задається:

Наприклад, якщо ви збираєтесь отримувати 100 доларів за три роки за 6% безперервної ставки, його теперішня вартість визначається:

Масштабування протягом кількох періодів

Зручна властивість безперервно складеної віддачі полягає в тому, що вона масштабується протягом декількох періодів. Якщо віддача за перший період становить 4%, а віддача за другий період - 3%, то дворічна віддача становить 7%. Подумайте, що ми починаємо рік зі 100 доларів, який зростає до 120 доларів наприкінці першого року, потім 150 доларів наприкінці другого року. Постійно складені прибутки становлять відповідно 18, 23% та 22, 31%.

Якщо їх просто скласти разом, ми отримаємо 40, 55%. Це два періоди повернення:

Технічно кажучи, безперервне повернення відповідає часу. Послідовність часу - це технічна вимога щодо вартості ризику (VAR). Це означає, що якщо одноперіодне повернення є нормально розподіленою випадковою змінною, ми хочемо, щоб також були розподілені також багатоперіодичні випадкові величини. Крім того, багаторазове безперервно складене повернення зазвичай розподіляється (на відміну, скажімо, від простого відсоткового повернення).

Суть

Ми можемо переформулювати річні процентні ставки у піврічні, квартальні, щомісячні або щоденні процентні ставки (або ставки доходу). Найчастішим складанням є безперервне складання, яке вимагає від нас використання природного журналу та експоненціальної функції, яка зазвичай використовується у фінансах завдяки своїм бажаним властивостям - вона легко масштабується протягом декількох періодів, і вона відповідає часу.