Оптимізуйте свій портфель за допомогою звичайного розподілу

Нормальний розподіл - це розподіл ймовірностей, який будує всі свої значення симетрично, більшість результатів розташовуються навколо середньої величини.

Нормальне (крива Белла) розподіл

Набори даних (наприклад, зріст 100 людей, оцінки, отримані 45 учнями в класі тощо), як правило, мають багато значень в одній точці даних або в межах одного діапазону. Такий розподіл точок даних називається нормальним чи розподілом кривої дзвіночка.

Наприклад, у групі зі 100 особин 10 може бути нижче 5 футів у висоту, 65 може стояти від 5 до 5, 5 футів, а 25 може бути вище 5, 5 футів. Цей обмежений діапазон може бути побудований так:

Аналогічно, точки даних, побудовані у графіках для будь-якого набору даних, можуть нагадувати різні типи розподілів. Три найпоширеніші розподілення ліворуч, вирівнювання праворуч і переміщення:

Зверніть увагу на червону лінію тренду в кожному з цих графіків. Це приблизно вказує на тенденцію поширення даних. Перший, "Лівий розподілений розподіл", означає, що більшість точок даних потрапляє в нижній діапазон. У другому графіку “ВПРАВЛІНЕННЯ ПРАВИЛЬНОГО розподілу” більшість точок даних потрапляє у верхній кінець діапазону, а останній, “Перемішаний розподіл”, являє собою змішаний набір даних без чіткої тенденції.

Існує багато випадків, коли розподіл точок даних має тенденцію до центрального значення, і цей графік показує ідеальний нормальний розподіл - однаково збалансований з обох сторін, найбільша кількість точок даних сконцентрована в центрі.

Ось ідеальний, нормально розподілений набір даних:

Центральне значення тут - 50 (що має найбільшу кількість точок даних), а розподіл звужується рівномірно до крайніх кінцевих значень 0 і 100 (які мають найменшу кількість точок даних). Нормальний розподіл симетричний навколо центрального значення з половиною значень на кожній стороні.

Дуже багато прикладів із реального життя відповідають розміщенню кривої дзвіночки:

• Кидайте чесну монету багато разів (скажімо, 100 разів і більше), і ви отримаєте збалансований нормальний розподіл голови та хвостів.
• Розкачуйте пару справедливих кісток багато разів (скажімо, 100 і більше разів), і результат буде збалансованим, нормальним розподілом, зосередженим навколо числа 7 і рівномірним звуженням до граничних значень 2 і 12.
• Зростання особин у групі значних розмірів та оцінок, отриманих людьми в класі, обидва відповідають нормальним моделям розподілу.
• У фінансах зміни змін журналу Форекс-ставок, індексів цін та цін акцій прийнято вважати нормально розподіленими.

Ризик та повернення

Будь-яка інвестиція має два аспекти: ризик та віддача. Інвестори шукають найменший можливий ризик для максимально можливої ​​віддачі. Нормальний розподіл кількісно визначає ці два аспекти середнім значенням прибутку та стандартним відхиленням для ризику. (Докладніше див. У "Аналіз середньої дисперсії".)

Середнє або очікуване значення

Особливо середня зміна ціни акції може складати 1, 5% щоденно - це означає, що в середньому вона зростає на 1, 5%. Це середнє значення або очікуване значення, що означає прибуток, можна досягти, обчисливши середнє на достатньо великому наборі даних, що містить історичні щоденні зміни цін цієї акції. Чим вище середня, тим краще.

Стандартне відхилення

Стандартне відхилення позначає суму, на яку значення в середньому відхиляються від середнього. Чим вище стандартне відхилення, тим більш ризикована інвестиція, оскільки це призводить до більшої невизначеності.

Ось графічне зображення того самого:

Отже, графічне зображення нормального розподілу через його середнє та стандартне відхилення дозволяє представити як віддачу, так і ризик у чітко визначеному діапазоні.

Це допомагає дізнатися (і бути впевненим з певністю), що якщо деякий набір даних відповідає нормальній схемі розподілу, його середнє значення дозволить нам дізнатися, чого очікується прибуток, а його стандартне відхилення дасть нам змогу знати, що близько 68% значень буде в межах 1 стандартного відхилення, 95% в межах 2 стандартних відхилень і 99% значень потраплять в межах 3 стандартних відхилень. Набір даних, що має середнє значення 1, 5 і стандартне відхилення 1, набагато більш ризикований, ніж інший набір даних із середнім значенням 1, 5 та стандартним відхиленням 0, 1.

Знаючи ці значення для кожного вибраного активу (тобто акції, облігації та фонди), зробить інвестором обізнаний про очікуваний прибуток та ризики.

Застосувати цю концепцію легко і представляти ризик та рентабельність однієї акції, облігації чи фонду. Але чи можна це поширити на портфель з декількох активів ">

Фізичні особи починають торгувати, купуючи єдиний пакет акцій або облігацій або вкладаючи у взаємний фонд. Поступово вони мають тенденцію збільшувати свої запаси та купувати кілька акцій, фондів чи інших активів, створюючи тим самим портфель. У цьому інкрементальному сценарії люди будують свої портфелі без стратегії чи великої продуманості. Професійні менеджери фондів, торговці та маркетологи дотримуються систематичного методу побудови свого портфеля, використовуючи математичний підхід, який називається сучасна теорія портфелів (MPT), заснована на концепції «нормального розподілу».

Сучасна теорія портфоліо

Сучасна теорія портфелів (MPT) пропонує систематичний математичний підхід, який спрямований на максимальне збільшення очікуваної віддачі портфеля за певний обсяг портфельного ризику шляхом вибору пропорцій різних активів. Крім того, він також пропонує мінімізувати ризик для заданого рівня очікуваної віддачі.

Для досягнення цієї мети активи, які слід включити до портфеля, слід вибирати не лише на основі їх власних індивідуальних заслуг, а замість того, як буде працювати кожен актив відносно інших активів у портфелі.

У двох словах, MPT визначає, як найкраще досягти диверсифікації портфеля для досягнення найкращих результатів: максимальна віддача за прийнятний рівень ризику або мінімальний ризик для бажаного рівня прибутку.

Будівельні блоки

MPT була такою революційною концепцією, коли було введено, що його винахідники отримали благородну премію. Ця теорія успішно дала математичну формулу для керівництва диверсифікацією інвестицій.

Диверсифікація - це техніка управління ризиками, яка знімає ризик "усіх яєць в одному кошику", інвестуючи в непов'язані запаси, сектори або класи активів. В ідеалі позитивна результативність одного активу в портфелі скасуватиме негативну ефективність інших активів.

Для взяття середньої дохідності портфеля, який має п різних активів, обчислюється пропорційно зважена комбінація доходів складових активів.

Зважаючи на характер статистичних обчислень та нормальний розподіл, загальний дохід портфеля (R _p ) обчислюється як:

Rp = ∑wiRiR_p = \ сума {w_iR_i} Rp = ∑wi Ri

Сума (∑), де w _i - пропорційна вага активу i в портфелі, R _i - дохідність (середня) активу i.

Ризик портфеля (або стандартне відхилення) - це функція кореляції включених активів для всіх пар активів (відносно один одного в парі).

Зважаючи на характер статистичних розрахунків та нормальний розподіл, загальний ризик портфеля (Std-dev) _p розраховується як:

(Std − dev) p = sqrt [∑i∑jwiwj (std − dev) i (std-dev) j (cor-cofij)] \ початок {вирівняний} & \ ліворуч (Std-dev \ праворуч) _p = \ \ & sqrt \ зліва [\ sum_i \ sum_j {w_i} {w_j} \ ліворуч (std-dev \ право) _i \ зліва (std-dev \ праворуч) _j \ зліва (cor-cof_ {ij} \ праворуч) \ праворуч] \\ \ end {align} (Std − dev) p = sqrt [i∑ j∑ wi wj (std − dev) i (std − dev) j (cor-cofij)] Сігналы абмеркавання

Тут cor-cof - коефіцієнт кореляції між прибутковістю активів i та j, а sqrt - квадратним коренем.

Це дбає про відносну ефективність кожного активу по відношенню до іншого.

Хоча це здається математично складним, проста концепція, застосована тут, включає не тільки стандартні відхилення окремих активів, але і пов'язані з ними відносно один одного.

Тут є хороший приклад з університету Вашингтона.

Короткий приклад MPT

В якості продуманого експерименту, давайте уявимо, що ми - менеджер з портфеля, якому було надано капітал і на який покладено завдання, скільки капіталу слід розподілити на два наявні активи (А & Б), щоб максимальна очікувана віддача була знижена і ризик був знижений.

Також у нас є такі значення:

R _a = 0, 175

R _b = 0, 055

(Std-dev) _a = 0, 258

(Std-dev) _b = 0, 151

(Std-dev) _ab = -0, 004875

(Cor-cof) _ab = -0, 164

Починаючи з рівного розподілу 50-50 для кожного активу A&B, R _p обчислює 0, 151, а (Std-dev) _p дорівнює 0, 1323. Просте порівняння говорить про те, що для цього 2 портфеля активів повернення, а також ризик є посередині між окремими цінностями кожного активу.

Однак наша мета полягає в тому, щоб покращити віддачу портфеля за межі середнього показника будь-якого окремого активу та зменшити ризик, щоб він був нижчим, ніж у окремих активів.

Давайте тепер візьмемо позицію розподілу капіталу 1, 5 в активі A і -0, 5 позицію розподілу капіталу в активі B. (Негативний розподіл капіталу означає скорочення того, що отриманий запас і капітал використовуються для придбання надлишку іншого активу з позитивним розподілом капіталу. Іншими словами, ми скорочуємо акції B для капіталу в 0, 5 рази і використовуємо ці гроші для придбання акцій A на суму в 1, 5 рази більше капіталу.)

Використовуючи ці значення, ми отримуємо R _p як 0, 1604, а (Std-dev) _p - 0, 4005.

Аналогічно, ми можемо продовжувати використовувати різні ваги розподілу для активів A&B та отримувати різні набори Rp та (Std-dev) p. Відповідно до бажаної віддачі (Rp), можна вибрати найбільш прийнятний рівень ризику (std-dev) p. Крім того, для бажаного рівня ризику можна вибрати найкращу доступну дохідність портфеля. Так чи інакше, завдяки цій математичній моделі теорії портфеля можна досягти мети створення ефективного портфеля з бажаною комбінацією ризику та віддачі.

Використання автоматизованих інструментів дозволяє легко і плавно визначити найкращі можливі виділені пропорції, без необхідності тривалих ручних обчислень.

Ефективна межа, Модель ціноутворення капітальних активів (CAPM) та ціноутворення активів за допомогою MPT також розвиваються з тієї ж нормальної моделі розподілу і є розширенням до MPT.

Проблеми перед MPT (та основними нормальними розподілами)

На жаль, жодна математична модель не є досконалою, і кожна має недоліки та обмеження.

Основне припущення, що повернення цін на акції відбувається за нормальним розподілом, сумнівається раз і знову. Є достатній емпіричний доказ випадків, коли значення не дотримуються передбачуваного нормального розподілу. Складання складних моделей на таких припущеннях може призвести до результатів з великими відхиленнями.

Якщо піти далі в MPT, розрахунки та припущення щодо коефіцієнта кореляції та коваріації, що залишаються фіксованими (засновані на історичних даних), не обов'язково можуть бути справедливими для майбутніх очікуваних значень. Наприклад, облігаційні та фондові ринки показали ідеальну кореляцію на ринку Великобританії з 2001 по 2004 роки, де прибутки від обох активів знижувалися одночасно. Насправді, зворотний процес спостерігався протягом тривалих історичних періодів до 2001 року.

Поведінка інвесторів не враховується в цій математичній моделі. Податки та трансакційні витрати нехтують, хоча передбачається часткове розподіл капіталу та можливість скорочення активів.

Насправді жодне з цих припущень не може бути правдивим, а це означає, що реалізовані фінансові доходи можуть суттєво відрізнятися від очікуваного прибутку.

Суть

Математичні моделі забезпечують хороший механізм кількісної оцінки деяких змінних за допомогою одиничних відстежуваних чисел. Але через обмеження припущень моделі можуть вийти з ладу.

Звичайний розподіл, який лежить в основі теорії портфеля, може необов'язково застосовуватись до акцій та інших цін цін на фінансові активи. Теорія портфеля сама по собі має безліч припущень, які слід критично вивчити, перш ніж приймати важливі фінансові рішення.